INFO Devoir à la maison n°1 TS1 donné le samedi 7 septembre 2013
pour le 20 septembre 2013
EXERCICE 1
Résoudre dans IR les équations et inéquations suivantes:
1. x2 - 3 x + 2 = 0
2. x4 - 3 x2 + 2 = 0
3. cos4 x - 3 cos2 x + 2 = 0
4. x2 - 3 x + 2 < 0
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REPONSE:
1. Résolution de x2 - 3 x + 2 = 0 dans IR.
Il apparaît que la somme des coefficients est nulle
1 - 3 + 2 = 0
Donc 1 est une racine évidente.
L'autre racine est: c / a
Or c / a = 2 / 1 = 2
Conclusion: SIR = { 1 ; 2 }
2. Résolution de x4 - 3 x2 + 2 = 0 dans IR.
Cette équation , notée ( 1 ) , une équation bicarrée.
Elle équivaut à :
X2 - 3 X2 + 2 = 0 ( 2 )
X = x2 ( 3 )
La résolution de ( 2 ) d'après la question précédente
donne X = 1 ou X = 2
• Résolvons ( 3 ) pour X = 1.
x2 = 1 se traduit par x = 1 ou x = - 1
• Résolvons ( 3 ) pour X = 2.
x2 = 2 se traduit par x = - √2 ou x = √2
Conclusion: SIR = { - √ 2 ; - 1 ; 1 ; √ 2 }
3. Résolution de cos4 x - 3 cos2 x + 2 = 0.
Cette équation équivaut à:
Y4 - 3 Y2 + 2 = 0 ( 1 )
cos x = Y
La résolution de ( 1 ) a déjà été faite.
Ainsi Y = 1 ou Y = - 1 ou Y = - √2 ou Y =√2
• Résolvons cos x = Y pour Y = 1
c-à-d cos x = 1
c-à-d x ≡ 0 ( 2 π )
• Résolvons cos x = Y pour Y = - 1.
c-à-d cos x = - 1
c-à-d x ≡ π ( 2 π )
• Résolvons cos x = Y pour Y = - √ 2
c-à-d cos x = - √ 2 Impossible
car - 1 ≤ cos x ≤ 1 et - √ 2 < - 1
• Résolvons cos x = Y pour Y = √2
c-à-d cos x = √ 2 Impossible pour la même raison
Conclusion: SIR = { 0 + 2 k π / k entier relatif } U { π + 2 k π / k entier relatif }
4. Résolution de x2 - 3 x + 2 < 0.
Le trinôme du second degré s'annule pour
x = 1 ou x = 2.
Le coefficient a de x2 est a = 1 . Donc a >0
Nous voulons que le trinôme du second degré soit
du signe - a et non nul. Ainsi nous devons prendre x entre les racines
en les refusant.
Conclusion : S = ] 1 ; 2 [
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EXERCICE 2
Etudier les variations des fonctions suivantes:
f : x → x3 - 3 x + 2
g : x → ( x + 3) / ( x - 2 )
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REPONSE:
• Etude des variations de f.
f est ne fonction polynôme.
Elle est donc définie et dérivable dans IR.
Soit x dans IR.
On a : f ' ( x ) = 3 x2 - 3 = 3 ( x2 - 1 ) = 3 ( x - 1 ) ( x + 1 )
D'après la règle des signes d'un trinôme du second dégré
qui s'annule en - 1 et en 1 avec a = 3 on déduit que:
f ' > 0 sur ] - ∞ , - 1 [ U ] 1 , + ∞ [
f ' < 0 sur ] - 1 ; 1 [
f '( - 1 ) = 0 et f '( 1 ) = 0
Conclusion: f est strictement croissante sur les intervalles
] - ∞ ; - 1] et [ 1 , + ∞ [.
f est strictement décroissante sur l'intervalle [ - 1 ; 1 ].
• Etude de la fonction g.
g est une fonction rationnelle ( homographique ) défnie sur IR - { 2 }.
Donc g est dérivable sur les intervalle de IR - { 2 }.
Soit x ≠ 2.
On a : g( x ) = ( x - 2 + 5 ) / ( x - 2 ) = 1 + 5 / ( x - 2)
Ainsi : g' ( x ) = - 5 / ( x - 2 )2
Mais - 5 / ( x - 2 )2 < 0 pour tout x dans IR - { 2 }.
c-à-d g ' < sur IR - { 2 }
Conclusion: g est strictement décroissante sur le intervalles de
IR - { 2 }
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EXERCICES 3
Soit la suite récurrente ( u ) définie sur IN par :
u0 = 0
un+1 = 4 un + 3 pour tout n dans IN
1. Donner ses cinq premiers termes.
2. Conjecturer un en fonction de n.
( Penser aux puissances de 2 ou de 4 )
3. Etablir par récurrence cette conjecture.
4. Pouvait-on prévoir le résultat en utilisant
la suite géométrique de terme général vn = un + 1 ?
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REPONSE:
1.Calcul des 5 premiers termes de la suite.
u0 = 0
u1 = u0 + 1 = 4 u0 + 3 = 3
u2 = u1 + 1 = 4 u1 + 3 = 4 × 3 + 3 = 15
u3 = u2 + 1 = 4 u2 + 3 = 4 × 15 + 3 = 63
u4 = u3 + 1 = 4 u3 + 3 = 4 × 63 + 3 = 255
2. Conjecturons un en fonction de n.
Il apparaît que :
u0 = 0 = 1 - 1 = 40 - 1
u1 = 3 = 4 - 1 = 41 - 1
u2 = 15 = 16 - 1 = 42 - 1
u3 = 63 = 64 - 1 = 43 - 1
u4 = 255 =256 - 1 = 44 - 1
Conclusion : On peut conjecturer que
un = 4n - 1 pour tout n dans IN.
3. Prouvons par récurrence sur IN cette conjecture.
• n = 0
On a : u0 = 0
et 40 - 1 = 0
Donc la formule est vraie pour n = 0
• Soit n dans IN quelconque.
Montrons que si un = 4n - 1 alors un + 1 = 4n + 1 - 1
On a :
un + 1 = 4 un + 3
Or un = 4n - 1
Donc un + 1 = 4 × ( 4n - 1 ) + 3 = 4 × 4n - 4 + 3
c-à-d un + 1 = 4n + 1 - 1
On a la formule à l'ordre n + 1.
Conclusion : La formule est prouvée sur IN.
4. Prévision du résultat.
Soit n dans IN quelconque.
Posons vn = un + 1 alors v n + 1 = un + 1 + 1
On a d'après l'énoncé : un + 1 = 4 un + 3
Donc un + 1 + 1 = 4 un + 3 + 1 = 4 ( un + 1 )
c-à-d vn + 1 = 4 vn
La suite ( v ) est ainsi géométrique de raison 4.
v0 = u0 + 1 = 0 + 1 = 1
Donc vn = 1 × 4n pour tout n dans IN
En reportant dans vn = un + 1 il vient
4 n = un + 1
d'où le résultat que l'on avait conjecturé.
un = 4n - 1 pour tout n dans IN.
Conclusion : OUI. On pouvait prévoir le résultat.
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EXERCICE 4
Soit la suite ( u ) définie sur IN par :
un = 1,5n pour tout n dans IN
1. Justifier que:
un ≥ 1 + 0,5 n pour tout n dans IN
2. Que peut -on en déduire pour son comportement
quand n tend vers + ∞ ?
3. Calculer la somme des 5 premiers termes de cette suite.
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REPONSE:
1. Justifions l'inégalité demandée.
On a: 1,5 = 1 + 0,5 avec 0 , 5 > 0
D'après l'inégalité de Bernoulli on a donc:
( 1 + 0, 5 )n ≥ 1 + n × 0,5 pour tout n dans IN.
c-à-d 1,5n ≥ 1 + 0,5 n pour tout n dans IN
c-à-d un ≥ 1 + 0,5 n pour tout n dans IN
Conclusion: On a bien le résultat demandé
2. Déduisons le comportement de la suite ( u ) en + ∞.
On a: 1 + 0,5 n qui tend vers + ∞ quand n tend vers + ∞.
Comme un ≥ 1 + 0,5 n pour tout n dans IN
on en déduit que un tend encore plus vite vers +∞.
Conclusion : La suite ( u ) tend vers +∞ en +∞.
3. Calculons la somme des 5 premiers termes de la suite (u ).
Soit S = u0 + u1 + u2 + u3 + u4
La suite (u ) est gémétrique de raison 1,5 ( différente de 1 ).
Son premier terme est u0 = 1,50 = 1
Une formule de 1 ère S est :
S = u0 × ( 1 - 1,55 ) / ( 1 - 1,5 )
c-à-d
S = 1 × ( 1 - 1,55 ) / ( - 1 / 2 ) = 2 ( 1,55 - 1 )
c-à-d
Conclusion : S ≈ 13,19
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EXERCICE 5
Soit la suite ( w ) définie sur IN par:
wn = 5 n2 + 3 pour tout n dans IN.
1. Donner w0 .
Préciser son sens de variation
et sa limite quand n tend vers + ∞.
2. Soit A= 200
Trouver le rang p à partir duquel
on a :
Pour tout entier n ≥ p
wn ≥ A
( On écrira pour cela un programme qui utilise un algorithme )
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REPONSE:
1. • Donnons w0 .
On a : w0 = 5 × 02 + 3 = 3
• Donnons son sens de variation.
Considérons la différence : wn + 1 - wn
On a: wn + 1 - wn = 5 ( n + 1 )2 + 3 - [ 5 n2 + 3 ]
c-à-d wn + 1 - wn = 5 ( n + 1 )2 + 3 - 5 n2 - 3
c-à-d wn + 1 - wn = 5 [ ( n + 1 )2 - n2 ) = 5 ( n + 1 - n ) (n + 1 + n )
c-à-d wn - wn = 5 ( 2 n + 1 )
Mais 5 × ( 2 n + 1 ) > 0 pour tout n dans IN.
Donc wn + 1 - wn > 0 pour tout n dans IN.
Conclusion: La suite ( w ) est croissante
• Donnons le comporement de la suite ( w ) en + ∞.
n2 tend vers + ∞ quand n tend vers + ∞ .
De la même façon 5 n2 + 3 tend vers + ∞ quand n tend vers + ∞ .
Conclusion: La suite ( w ) admet comme limite + ∞ en + ∞.
2. Soit A = 200.
Trouvons le rang p à partir duquel les termes de la suite sont
supérieurs ou égaux à A.
Utilisons un algorithme:
EXEC EDIT NEW
1: Create New ENTER
PROGRAM
Name= A Le A clignote
Ecrire RANG ENTER
PROGRAM: RANG
:
Ecrire les instructions suivante
Input A : 3 → U: 0 → N : while U ≤ A
: N + 1 → N : 5 * N2 + 3 → U: End : Display N
( On écrit toutes les instructions à la suite )
2ND QUIT
On exécute ensuite le programme RANG
Appuyer sur PRGM
EXEC EDIT NEW
1. ...........
2. RANG Descendre jusqu'à la ligne de RANG
ENTER
prgmRANG
ENTER
?
Le ? clignote
200 ENTER
7
C'est la réponse
Conclusion : Le rang cherché est: n = 7
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