INFO DV n° 1 TS1 7/ 09/ 2013

       INFO  Devoir à la maison      n°1           TS1     donné le samedi 7 septembre 2013

                         pour le 20 septembre 2013

         EXERCICE 1

                 Résoudre dans IR les équations et inéquations  suivantes:

             1.       x2  -  3 x  + 2 = 0

             2.       x4  - 3 x+ 2 = 0

             3.        cos4 x   - 3 cosx + 2 = 0

             4.       x2  -  3 x  + 2  < 0

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            REPONSE:

           1. Résolution de x2 - 3 x + 2 = 0 dans IR.

                Il apparaît que la somme des coefficients est nulle

                         1 - 3 + 2 = 0

                Donc 1 est une racine évidente.

               L'autre racine est:     c / a

                      Or    c / a  =  2 / 1 =  2

               Conclusion:  SIR = {  1 ; 2 }

           2. Résolution de x4 - 3 x2 + 2 = 0 dans IR.

               Cette équation , notée ( 1 ) , une équation bicarrée.

                Elle équivaut à :

                   X2 - 3 X2 + 2 = 0         ( 2 )

                  X = x2                               ( 3 )

                 La résolution de  ( 2 ) d'après la question précédente

                 donne X = 1  ou X = 2

               • Résolvons  ( 3 ) pour X = 1.

                     x2 = 1     se traduit par x = 1 ou x = - 1

             • Résolvons  ( 3 ) pour X = 2.

                  x2 = 2    se traduit par x = - √2  ou  x = √2

              Conclusion:            SIR = { - √ 2   ;   - 1  ;  1  ;  √ 2 }

               3. Résolution de cos4 x - 3 cos2 x   + 2 = 0.

                   Cette équation équivaut à:

                                  Y4 - 3 Y2 + 2 = 0        ( 1 )

                                  cos x = Y

                  La résolution de ( 1 ) a déjà été faite. 

                   Ainsi   Y = 1   ou Y = - 1   ou Y = - √2    ou   Y =√2

                 • Résolvons cos x = Y pour  Y = 1

                     c-à-d    cos x = 1

                     c-à-d      x ≡ 0   ( 2 π )

                   • Résolvons cos x = Y  pour Y = - 1.

                     c-à-d      cos x = - 1

                     c-à-d       x  ≡  π  ( 2 π )

                  •  Résolvons cos x = Y  pour Y = - √ 2

                      c-à-d                 cos x = - √ 2   Impossible

                         car     - 1 ≤  cos x ≤  1    et     - √ 2  < - 1

                • Résolvons cos x = Y  pour Y = √2

                  c-à-d   cos x = √ 2    Impossible pour la même raison

   Conclusion:   SIR = { 0 + 2 k π  /  k entier relatif } U { π + 2 k π / k entier relatif }

                4. Résolution  de x2 - 3 x + 2 < 0.

                      Le trinôme du second degré s'annule pour 

                     x = 1  ou x = 2.

                     Le coefficient a de x2   est   a = 1 .  Donc a >0

                     Nous voulons que le trinôme du second degré soit 

                    du signe  - a   et non nul. Ainsi  nous devons prendre x entre les racines

                    en les refusant.

                Conclusion :  S = ] 1 ; 2 [

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        EXERCICE 2

                 Etudier les variations des fonctions suivantes:

                        f : x →  x3  -  3 x  + 2

                       g : x →  ( x + 3) / ( x - 2 )

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     REPONSE:

                 • Etude des variations de f.

                   f est ne fonction polynôme.

                   Elle est donc définie et dérivable dans IR.

                   Soit x dans IR.

                   On a :    f ' ( x ) = 3 x2 - 3 = 3 ( x2 - 1 ) =  3 ( x - 1  ) ( x + 1 )

                  D'après la règle des signes d'un trinôme du second dégré 

                    qui s'annule en - 1 et en 1 avec a = 3  on déduit que:

                               f ' > 0 sur ] - ∞ , - 1 [ U ] 1 , + ∞ [

                               f ' < 0 sur  ] - 1 ; 1 [

                               f '( - 1 ) = 0  et f '( 1 ) = 0

               Conclusion:  f est strictement croissante sur les intervalles

                                    ] - ∞ ; - 1]  et  [ 1 , + ∞ [.

                                    f est strictement décroissante sur l'intervalle [ - 1 ; 1 ]. 

               • Etude de la fonction g.

                      g est une fonction rationnelle ( homographique ) défnie sur IR - { 2 }.

                      Donc g est dérivable sur les intervalle de IR - { 2 }.

                   Soit x ≠ 2.

                    On a :  g( x ) = ( x - 2  + 5 ) / ( x - 2  ) = 1 +  5 / ( x - 2)

                   Ainsi :  g' ( x ) =  -  5 / ( x - 2 )2

                  Mais     - 5 / ( x - 2 )2  < 0 pour tout x dans  IR - { 2 }.

                   c-à-d                     g ' < sur IR - { 2 }

                   Conclusion: g est strictement décroissante  sur le intervalles de 

                      IR - { 2 } 

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         EXERCICES 3

                   Soit la suite récurrente ( u ) définie sur IN par :

                   u0 = 0

                  un+1 = 4 un + 3                 pour tout n dans IN

               1.  Donner ses cinq premiers termes.

               2.  Conjecturer un en fonction de n. 

                     ( Penser aux puissances de 2 ou de 4 )

               3.    Etablir par récurrence cette conjecture.

               4. Pouvait-on prévoir le résultat en utilisant 

                  la suite géométrique de terme général vn = un + 1  ?

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       REPONSE: 

     1.Calcul des 5 premiers termes de la suite.

                        u0  =

                        u1 = u0 + 1     = 4 u0 + 3 =

                        u2   =   u1 + 1  = 4  u1 + 3 =  4 × 3 + 3  = 15

                        u3    = u2 + 1   =  4 u2 + 3  = 4 × 15 + 3  = 63 

                        u4    = u3 + 1  =   4 u3 + 3 =  4 × 63 + 3 =  255

    2. Conjecturons un en fonction de n.

            Il apparaît que :

                     u0 =  0 = 1 - 1 =  40  - 1

                     u1 = 3  =  4 - 1  =  41 - 1

                     u2  = 15  =  16 - 1  = 42  - 1

                     u3   = 63   =  64  - 1  = 4- 1

                     u4   = 255  =256  - 1  =  4 - 1

             Conclusion : On peut conjecturer que

                                un = 4n - 1  pour tout n dans IN.

   3. Prouvons par récurrence sur IN cette conjecture.

         • n = 0

             On a :    u0 = 0

              et     40 - 1  = 0

           Donc la formule est vraie pour n = 0

        • Soit n dans IN quelconque.

             Montrons que si  un = 4n - 1 alors un + 1  =  4n + 1 - 1

         On a :

                 un + 1  = 4 un + 3

          Or     un = 4n - 1

            Donc     un + 1  =   4  × ( 4n - 1 ) + 3  = 4 × 4n - 4 + 3

          c-à-d               un + 1  =  4n + 1 - 1

             On a la formule à l'ordre n + 1.

             Conclusion : La formule est prouvée sur IN.

    4. Prévision du résultat.

             Soit n dans IN quelconque.

             Posons   vn = un + 1    alors   v n + 1  =  un + 1  + 1  

           On a d'après l'énoncé  :   un + 1 = 4 un + 3

          Donc                             un + 1   + 1   =  4 un + 3  + 1    = 4 ( un + 1 )      

        c-à-d                               vn + 1    =   4  vn  

          La suite ( v ) est ainsi géométrique  de raison 4.

                v0 = u0 + 1 = 0 + 1 = 1

            Donc    vn = 1 ×  4n     pour tout n dans IN 

           En reportant dans vn = un + 1  il vient 

                      4 n   = un + 1 

            d'où le résultat que l'on avait conjecturé.

                     un = 4n - 1              pour tout n dans IN.

             Conclusion :  OUI. On pouvait prévoir le résultat.

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         EXERCICE 4

             Soit la suite ( u ) définie sur IN par :

                           un = 1,5n     pour tout n dans IN

           1. Justifier que:

                       un   ≥ 1 + 0,5 n            pour tout n dans IN

          2. Que peut -on en déduire pour  son comportement

              quand n tend vers + ∞ ?

        3. Calculer  la somme des 5 premiers termes de cette suite.

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   REPONSE:

           1. Justifions l'inégalité demandée.

                   On a:         1,5 = 1 + 0,5             avec         0 , 5 > 0

               D'après l'inégalité de Bernoulli on a donc:

                    ( 1 + 0, 5 ) ≥ 1 + n × 0,5   pour tout n dans IN.

                 c-à-d      1,5n   ≥ 1 + 0,5 n             pour tout n dans IN

                 c-à-d     un ≥ 1 + 0,5 n            pour tout n dans IN

                     Conclusion:    On a bien le résultat demandé

            2. Déduisons le comportement de la suite ( u ) en + ∞.

                 On a:    1 + 0,5 n   qui tend vers + ∞ quand n tend vers + ∞.

                 Comme   un  ≥  1 + 0,5 n    pour tout n dans IN

                 on en déduit que un tend encore plus vite vers +∞.

                Conclusion :  La suite ( u ) tend vers +∞  en +∞.

            3.  Calculons la somme des 5 premiers termes de la suite (u ).

                Soit    S = u0 + u1 + u2 + u3 + u4       

                La suite (u ) est gémétrique de raison 1,5   ( différente de 1 ).

               Son premier terme est   u0 = 1,50 = 1 

               Une formule de 1 ère   S  est :

                            S = u0   × ( 1 - 1,55  ) / ( 1 - 1,5 )

               c-à-d

                              S = 1 × ( 1 - 1,55  ) / ( - 1 / 2 )  = 2 ( 1,55 - 1 )

             c-à-d 

                 Conclusion :     S ≈  13,19

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           EXERCICE 5

           Soit la suite  ( w )  définie sur IN par:

                  wn =  5 n2 + 3   pour tout n dans IN.

         1. Donner    w0 .

             Préciser son sens de variation

             et sa limite quand n tend vers + ∞.

         2. Soit  A= 200  

                   Trouver le rang p à partir duquel 

                   on a :

                    Pour tout entier n ≥ p

                         wn ≥  A

                 (   On écrira pour cela un programme qui utilise un algorithme )

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                 REPONSE:

         1.  • Donnons w0  .

                         On a :   w0  =  5 × 02 + 3 =  3

               • Donnons son sens de variation.

                     Considérons la différence :    wn + 1  - w

                 On a:                wn + 1 - wn =  5 ( n  + 1 )2 + 3 - [ 5 n2   + 3 ]

                   c-à-d              wn + 1 - wn =   5 ( n + 1 )2  + 3  - 5 n2   -  3 

                   c-à-d              wn + 1  - wn  = 5 [  ( n + 1 )2 - n2    )  = 5 ( n + 1 - n ) (n + 1 + n )

                  c-à-d               wn - wn = 5 ( 2 n + 1 )

                          Mais   5 × ( 2 n + 1 ) > 0                  pour tout n dans IN.

                   Donc              wn + 1 - wn > 0                  pour tout n dans IN.

                      Conclusion: La suite ( w ) est croissante                                            

                •  Donnons le comporement de la suite ( w ) en + ∞.

                        n2    tend vers + ∞ quand n tend vers  + ∞ .

                   De la même façon   5 n+ 3   tend vers  + ∞  quand n tend vers + ∞ .

                      Conclusion:   La suite ( w ) admet comme limite + ∞  en + ∞.

            2. Soit A = 200.

                      Trouvons le rang p à partir duquel les termes de la suite sont

                       supérieurs ou égaux à A.    

                        Utilisons un algorithme:

                      EXEC     EDIT       NEW

                      1: Create New                          ENTER

                      PROGRAM

                        Name= A                                   Le A clignote

                                                                 Ecrire RANG      ENTER

                   PROGRAM: RANG

                   :    

                                                 Ecrire les instructions suivante

                        Input A :  3 → U: 0 → N : while U ≤  A

                       : N + 1 → N : 5 * N+ 3 → U: End : Display N

                          (  On écrit toutes les instructions à la suite )

                             2ND    QUIT

                   On exécute ensuite le programme RANG

                          Appuyer sur    PRGM 

                         EXEC      EDIT      NEW

                        1.      ...........

                        2. RANG                           Descendre jusqu'à la ligne de  RANG

                                                                  ENTER

                      prgmRANG

                                                                  ENTER

                      ?  

                                                                   Le ? clignote

                        200                                   ENTER

                           7

                    C'est la réponse

                 Conclusion :   Le rang cherché est:     n = 7

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