LISTE 2 D'EX. LIMITES 1S

  LISTE 2   D'EX. SUR LES LIMITES       1S        Janvier 09

 Faire comme devoir n° 6  l'exercice 1  pour le mercredi 21 janvier 2009

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 EX. 1            Soit la fonction f : x → ( 2 x - 2 )² / ( 2 x - 1 )  définie sur

                     ] - ∞ , 1 / 2 [ U ] 1 / 2 , + ∞ [ .

                     Soit ( C ) la courbe de la fonction f  dans un repère orthonormal du plan.

                        ( Unité graphique : 2 cm )

                    1. Trouver les limites de f en 1 / 2.  ( On distinguera à droite , à gauche.)

                    2. En déduire l'existence d'une asymptote verticale  Δ pour la courbe ( C ).

                    3. Trouver les limites de f en  - ∞  et en + ∞ .

                    4. Déterminer trois réels a , b , c tels que :

                        f( x ) = a x + b +  c / ( 2 x - 1 ) 

                        pour tout x dans  ] - ∞ , 1 / 2 [ U ] 1 / 2 , + ∞ [ .

                    5. Etablir que la courbe ( C ) admet une asymptote oblique D , dont

                        on donnera l'équation réduite , en + ∞ comme en - ∞.

                    6. Donner le signe de 1 / ( 2 x - 1 )  suivant x dans  ] - ∞ , 1 / 2 [ U ] 1 / 2 , + ∞ [ .

                        En déduire les positions relatives de D et ( C ) .

                    7. a. Trouver la fonction dérivée f ' de f .

                        b. Montrer que f ' ( x ) est du signe de x ( x - 1 )

                            pour tout x dans  ] - ∞ , 1 / 2 [ U ] 1 / 2 , + ∞ [ .

                            Donner le tableau de variations de f.

                     8. Soit Ω  le point d'intersection des droites D et Δ .

                         Trouver les coordonnées de Ω .

                     9. On pose :   x = X +  1 / 2

                                           y = Y  -  2 

                          ( Formules de changement de repère par changement d'origine.)

                         a. Montrer que l'équation  y = f( x ) pour tout x dans  ] - ∞ , 1 / 2 [ U ] 1 / 2 , + ∞ [

                             devient  Y = 2 X +  1 / ( 2 X )   pour tout X dans  ] - ∞ , 0 [ U ] 0 , + ∞ [ .

                         b. Soit la fonction g : X → 2 X +  1 / ( 2 X )  définie dans  ] - ∞ , 0 [ U ] 0 , + ∞ [ .

                             Est-elle paire , impaire , quelconque?

                         c. Que peut-on dire du point Ω  pour la courbe ( C ) ?

                  10. Quels sont les points A et B de la courbe ( C ) où la tangente est horizontale?

                  11.  Tracer dans le même repère orthogonal ( C ) , D , Δ  , A , B .

                  12.  Discuter graphiquement le nombre de solutions de l'équation f( x ) = α

                        où  α  est un nombre réel.

                      ( On pourra pour cela considérer les points d'intersection éventuels entre ( C ) et

                        la droite Lα : y = α .)

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     EX. 2  Soit la fonction f : x→ √ ( x² - 3 x ).

                 1. Donner le domaine de définition de f .

                 2. Etablir que  x²  - 3 x  > ( 1 / 2 ) x²   pout tout x dans l'intervalle  ] 6 , +  ∞ [.

                 3. En déduire une fonction polynôme g  telle que :   g  < f    sur l'intervalle  ] 6 , +  ∞ [.

                 4.  Trouver la limite de f en +  ∞ .

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      EX. 3      Soit la fonction f : x→ √ (x² + 4 )  - x   définie dans IR.

                    Soit ( C ) sa courbe dans un repère orthogonal du plan.

                      (  Unités graphiques: 1 cm en abscisse

                                                       0,5 cm en ordonnée. )

                     1. Pour tout x dans   ] -  ∞ , 0 [  montrer que  f( x) > - x .

                     2. Trouver la limite de f en -  ∞ .

                     3. Montrer que √ (x² + 4 )  + x > 0 pour tout x dans IR.

                     4. Etablir que :  f( x ) = 4 /  ( √ (x² + 4 )  + x )         ( 1 )

                          pour tout x dans IR.

                     5. Montrer que  0 < f(x ) < 4 / x pour tout x dans ] 0 , +  ∞[.

                     6. En déduire  la limite de f en +  ∞.

                     7. Que peut-on dire de la courbe de f en +  ∞ ?

                     8. Montrer que 0 < f( x ) - ( - 2 x ) <  - 4 / x  pour tout x dans  ] -  ∞ , 0 [ .

                           ( On pourra  à partir de ( 1 ) considérer 

                               √ (x² + 4 )  + x  = 4 / ( √ (x² + 4 )  - x )   pour tout x dans  IR  .)

                     9. Que peut-on dire de la droite D d'équation y = - 2 x  pour la courbe de f en - ∞ ?

                     10. Tracer la courbe de la fonction f et la droite D.

                     11. On admet le résultat de cours : ( Term. )

                       <<  Soit u une fonction définie , dérivable , strictement positive sur l'intervalle I.

                        Alors la fonction  √ u   est définie et dérivable dans l'intervalle I et l'on a :

                        ( √ u   )' = u ' / ( 2 √ u   )        >>

                        a. En déduire que la fonction dérivée de f est :

                                f ' : → ( x - √ (x² + 4 ) )  / √ (x² + 4 )   sur IR.

                        b. Donner le sens de variation de f.                       

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