INFO DV6 1S JV 09

 INFO SUR LE DV n° 6   MAISON     du 21 janvier 2009   1S

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      EX.1    On a  la fonction f: x →( 2 x - 2 )² / ( 2 x - 1 )  définie sur

                 ] - ∞ , 1 / 2 [ U  ]1 / 2  , +  ∞  [ .

           1. Donnons les limites de f en 1 / 2.

              Comme f est définie sur deux intervalles d'extrémités 1 / 2  on peut faire                       

              la recherche.

    On a:            lim  ( 2 x - 2 )²    =  ( 2 ( 1 / 2 ) - 2 )²  = ( 1 - 2 )² = 1

                        x→ 1 / 2

 De plus :                lim ( 2 x - 1 ) = 0+        et          lim ( 2 x - 1 ) = 0-      

                              x → 1 /2                                 x → 1 / 2  

                               x > 1/ 2                                x < 1/ 2

 Ainsi :       lim ( 2 x - 2 )² / ( 2 x - 1 )  = 10+  = + ∞     c-à-d              lim f (  x ) = + ∞   

                  x → 1 /2                                                                           x → 1 /2            

                  x > 1/ 2                                                                             x > 1/ 2      

   D'autre part : 

                 lim ( 2 x - 2 )² / ( 2 x - 1 )  = 10-  = - ∞     c-à-d              lim f (  x ) = - ∞   

                  x → 1 /2                                                                           x → 1 /2            

                  x < 1/ 2                                                                             x < 1/ 2      

 Conclusion:     lim f (  x ) = + ∞                    et                                        lim f (  x ) = - ∞   

                        x → 1 /2                                                                           x → 1 /2      

                        x > 1 / 2                                                                             x  < 1 / 2

          2. Déduisons l'existence d'une asymptote verticale.

               D'après les limites infinies trouvées à gauche et à droite de 1 / 2 dans la question

               précédente on peut dire que la droite Δ : x = 1 / 2

               est une asymptote verticale pour la courbe de f.

  Conclusion:   On a bien le résultat attendu.

               3. Trouvons les limites de f en - ∞  et en + ∞  .

                On a:  f : x → ( 4 x² - 8 x + 4 ) ( 2 x - 1 )

               f est une fonction rationnelle.

               Sa limite en   - ∞  comme en + ∞  est celle du quotient simplifié de

               ses termes de plus haut degré. 

              Soit  x dans IR - { 1 / 2 }  et  non nul.

              Le quotient ses termes de plus haut degré est  4 x² / ( 2 x )

              Le quotient ses termes de plus haut degré est  2 x .

               On a :         lim 2 x  = + ∞         et         lim 2 x  =  - ∞

                                 x  → + ∞                                  x →  - ∞     

               Ainsi: 

             Conclusion:      lim f( x ) = + ∞         et         lim f( x )  =  - ∞

                                     x  → + ∞                                x →  - ∞    

             4. Trouvons trois réels a , b , c tels que : f( x ) = a x + b + c / ( 2 x - 1 )

                   pour tout x dans   ] - ∞ , 1 / 2 [ U  ]1 / 2  , +  ∞  [ .

  Utilisons la division.  

     

4 x² - 8 x + 4 | 2 x - 1
- ( 4 x² - 2 x ) |  2 x - 3
      - 6 x + 4 |
  - ( - 6 x + 3) |
                1 |
   

            Ainsi:     ( 4 x² - 8 x + 4 ) = ( 2 x - 3 ) ( 2 x - 1 ) +  1 

                On a donc :  ( 4 x² - 8 x + 4 ) / ( 2 x - 1 ) = 2 x - 3   +  1 / ( 2 x - 1 )

                   pour tout x dans   ] - ∞ , 1 / 2 [ U  ]1 / 2  , +  ∞  [ .

              Conclusion :              a = 2             b = - 3            c  = 1

            5. Déduisons l'existence d'une asymptote oblique pour ( C ) en + ∞  et en - ∞  .

             Soit x dans     ] - ∞ , 1 / 2 [ U  ]1 / 2  , +  ∞  [.

              On a :  f( x) - ( 2 x - 3 ) = 1 / ( 2 x - 1 )

             Mais      lim 1 / ( 2 x - 1 ) = 0              et     lim 1 / ( 2 x - 1 ) = 0

                          x  → + ∞                                         x  → - ∞ 

          Ainsi :         lim ( f( x ) - ( 2 x - 3 ) ) =  0              et     lim ( f( x ) - ( 2 x - 3 ) ) = 0

                           x  → + ∞                                                    x  → - ∞ 

          Conclusion:   La droite D: y = 2 x - 3 est une asymptote pour ( C ) en

                                   + ∞    et   en - ∞ .

         6. Donnons le signe de  1 / ( 2 x - 1 ) suivant x dans ] - ∞ , 1 / 2 [ U  ]1 / 2  , +  ∞  [ .

           Soit x distinct de 1 / 2.

         Le signe de 1 / ( 2 x - 1 ) est celui de  2 x - 1.

         Or    2 x - 1 < 0 quand    x < 1 / 2.

               2 x - 1 > 0 quand    x > 1 / 2.

          c-à-d        f( x ) - (  2 x - 3 ) < 0 quand  x < 1 / 2.

                         f( x ) - (  2 x - 3 ) > 0 quand  x > 1 / 2.

        Ainsi:  

         Conclusion:   1 / ( 2 x - 1 ) < 0  quand x < 1 / 2.

                              1 / ( 2 x - 1 ) < 0  quand x > 1 / 2.

                  ( C ) est au dessous de D sur ] - ∞ , 1 / 2[.

                 ( C ) est au dessus de D sur ] 1 / 2 , + ∞ [.

            7.a. Trouvons la fonction dérivée f '.

            On a : f : x  →  2 x - 3   +  1 / ( 2 x - 1 )

             c-à-d    f : x  →  2 x - 1  - 2   +  1 / ( 2 x - 1 )

            On donc:   f = u - 2 +  1 / u   avec  u : x →  2 x - 1 

            Comme la fonction affine u est définie , dérivable et non nulle dans 

             ] - ∞ , 1 / 2 [ U  ]1 / 2  , +  ∞  [  la fonction u - 2 +  1 / u  c-à-d f   l'est aussi.

                  On a    u' : x →  2 .

                f ' = u ' -   u'  / u²

              Soit x distinct de 1 / 2.

                On a :   f ' ( x ) = 2 -  2 / ( 2 x - 1 )² = 2 (   1 -   1 /( 2 x - 1 )² )

              c-à-d      f ' (x ) = 2 ( ( 2 x - 1 )² - 1²  )  /  ( 2 x -  1 )²

             c-à- d    f ' ( x )  = 2 ( 2x ( 2 x - 2 ) ) / ( 2 x - 1 )²

            c-à-d     f ' ( x )  = 8 ( x (  x - 1 ) ) / ( 2 x - 1 )²

          Conclusion:   f ' x →  8 ( x (  x - 1 ) ) / ( 2 x - 1 )²

                  sur  ] - ∞ , 1 / 2 [ U  ]1 / 2  , +  ∞  [  .

          b. Montrons que f '( x)  est du signe de x ( x - 1 ) pour tout x

           dans  ] - ∞ , 1 / 2 [ U  ]1 / 2  , +  ∞  [  .

 

 

 

 

          Pour tout x dans  ] - ∞ , 1 / 2 [ U  ]1 / 2  , +  ∞  [  on a   ( 2 x - 1 )² > 0

             et   8 > 0.

           Donc  8 ( x (  x - 1 ) ) / ( 2 x - 1 )²   est du signe de x ( x - 1 )

         pour tout x dans   ] - ∞ , 1 / 2 [ U  ]1 / 2  , +  ∞  [  .

             Conclusion : On bien le résultat.

            On peut donner le tableau de variation de f.             

 

x - ∞          0            1/ 2          1         + ∞
f '( x )       +        0     -       ||     -     0      +
f(x )      ↑      - 4       ↓       ||      ↓    0       ↑  

              8. Recheche du point Ω.

               Considérons le système:    y = 2 x - 3

                                                      x = 1 / 2

              Il vient :  x = 1 / 2   et y = - 2

              Conclusion :   On a le point Ω ( 1 / 2 ; - 2 )

            9.  Soit x = X + 1 / 2

                        y = Y - 2

               a. Recherche de la nouvelle équation de ( C ).

                      L'équation y = f( x )  avec x dans  ] - ∞ , 1 / 2 [ U  ]1 / 2  , +  ∞  [ 

                      s'écrit :     y = 2 x - 3 +   1 / ( 2 x - 1 )

                     c-à-d      Y - 2 =  2 ( X+ 1/ 2 ) - 3 +   1 / ( 2 ( X + 1 / 2 ) -  1 )  

                     avec  X non nul.