INFO EX2 B BTS SESSION 2009

  INFO   EX2    Partie B    BTS   SESSION 2009 

           EXERCICE 2       Partie B

                          1. a. Expliquons pourquoi Y suit la loi binomiale B( 10 ; 0,05 ).

                               On répète, de façon indépendante 10 fois une épreuve de Bernoulli

                              dont les issues sont: " non conforme" , " conforme" avec  

                               0,05  la probabilité de " non conforme".

                              Comme Y indique le nombre de bonbonnes non conformes parmi les

                               bonbonnes tirées elle suit la loi binomiale B( 10 ; 0,05 ).

                              b. Nous voulons P( X = 0 ).

                                    P( X = 0 ) = ( 1 - 0,05)10       

                                     Conclusion:   P( X = 0 )  0,5987

                               c. Nous voulons P( X =< 2).

                                     P( X =< 2) =  P( X = 0 ) + P( X = 1 ) + P( X = 2 )

                                       On a :  P( X = 1 ) = 10 ×  0,05 × ( 1 - 0,05)9   .

                                       c-à-d     P( X = 1 ) ≈ 0,3151

                                        On a :   P( X = 2 ) =  C10 2   ×  0,05² ×( 1 - 0,05)8  .

                                                        P( X = 2 ) ≈  0,0746

                                       Conclusion:   P( X =< 2)  ≈ 0,9885                                              

        2. a.Donnons l'espérance de Y'  qui est de loi binomiale B( 100 ; 0,05).

                       On a :    E( Y' ) = n p       avec n = 100 et  p = 0,05

                            c-à-d      E( Y' ) = 100 × 0,05 = 5

                                Conclusion : E( X ) = 5

                  Donnons l'écart type:  

                           σ ( Y' )  = √( n p q  )      avec q = 0,95

                      Conclusion :  σ ( Y' )  = 2,1794

             b. Donnons la valeur de λ.

                             La v.a.r. Z est de loi de poisson de paramètre  λ   

                              λ =  E( Y' )   car  Z  prolonge Y'.

                                 Conclusion :  λ = 5

             c.  Calculons P( Z =< 4 ).

                              D'après la table de Poisson on a:

                                P( Z =< 4 ) ≈ 0,007 + 0,034 + 0,084 + 0,140 + 0,176 

                                       Conclusion:     P( Z =< 4 )≈ 0,4410

                            c-à-d  P( Z >= 5 ) =P( Z> 4 ) ≈ 1 -  0,4410

                              c-à-d  P( Z>= 5 ) ≈ 0,5590

                                  0,5590 > 0,5 

                  L'affirmation  P( Z >= 5 ) > 0,5   est donc vraie

              Conclusion:    L'association de consommateurs a raison.

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