INFO EX 5 DS 1S1 04/ 04/ 09

 INFO EX 5  du DS    COMMUN  du  04 avril 2009

      EXERCICE 5

      Soit le plan un parallélogramme ABCD direct.

       On note :  I le barycentre des points pondérés ( A , - 2 ) et ( B , 5 ).

                        J le barycentre des points pondérés ( C , 1 ) et ( D , 2 ).

                        K le milieu du segment [ BC ] .

                        M désigne un point quelconque du plan.

              1. a. Construire les points I et J.

                      • I est le barycentre des points pondérés ( A , - 2 ) et ( B , 5 ).

                         Donc on a :  vect( BI ) = ( - 2  / ( - 2 + 5 ) ) vect( BA)

                        c-à-d    vect( BI ) = ( - 2  / 3 ) vect( BA)   . 

                           Cela permet de placer le point I.   

                      •     J est le barycentre des points pondérés ( C , 1 ) et ( D , 2 ).

                               Donc on a :     vect( CJ ) = ( 2  / ( 1 + 2 ) ) vect( CD ) 

     c-à-d         vect( CJ ) =  ( 2 / 3 ) vect( CD )      Cela permet de placer le point J.

                                  

                      Etablir que : vect( BI ) = vect( JC )

                        On a l'égalité vectorielle:

                                    vect( CJ ) =  ( 2 / 3 ) vect( CD )

                       Donc     vect( JC) =  ( - 2 / 3 ) vect( CD )

                        Mais   vect( CD ) = vect( BA ) sachant que ABCD

                         est un parallélogramme.

                        D'où    vect( JC ) = ( - 2 / 3 ) vect( BA )

                       Mais     vect( BI ) = ( - 2 / 3 ) vect( BA )

                          Donc   vect( JC ) =  vect ( BI )

                     Conclusion :  vect( BI ) = vect( JC )

                   b. Quel est le milieu du segment [ IJ ]?

                        L'égalité précédente   vect( BI ) = vect( JC )   prouve que le quadrilatère

                         BICJ est un parallèlogramme.

                         Ses diagonales se coupent en leur milieu .

                         Or K est le milieu du segment [ BC ] . Il est donc aussi le milieu

                         de l'autre diagonale [ IJ ].

                   Conclusion:       Le milieu du segment [ IJ ] est donc aussi ce point K.

                   c. Réduire chacun des vecteurs - 2 vect( MA ) + 5 vect( MB ) et  vect( MC ) + 2 vect( MD ) .

                         • Comme I est le barycentre des points pondérés ( A , - 2 ) et ( B , 5 )  on a

                              d'après la propriété fondamentale :

                           - 2 vect( MA ) + 5 vect( MB )  = ( - 2 + 5 ) vect( MI )

                             c-à-d     - 2 vect( MA ) + 5 vect( MB )  =  3 vect( MI )  .   

                         • Comme J est le barycentre des points pondérés ( C , 1 ) et ( D , 2 ) on a 

                                 d'après la propriété fondamentale : 

                             vect( MC ) + 2 vect( MD ) = ( 1 + 2 ) vect( MJ )

                             c-à-d      vect( MC ) + 2 vect( MD ) =  vect( MJ ) . 

                            Conclusion:      - 2 vect( MA ) + 5 vect( MB )  =  3 vect( MI )        ( 1 )

                                                        vect( MC ) + 2 vect( MD ) =  vect( MJ )          ( 2 )

             2.a. Trouver l'ensemble ( L ) des points M du plan tels que :

                   ||  - 2 vect( MA ) + 5 vect( MB ) ||  =  ||  vect( MC ) + 2 vect( MD ) || .

                         A l'aide des deux réductions précédentes  ( 1 ) et ( 2 )

                        cette égalité s'écrit :   ||  3 vect( MI ) ||  =  ||  3 vect( MJ ) || .

                        c-à-d              3   MI = 3 MJ

                        c-à-d               MI = MJ

                    Conclusion:   L'ensemble ( L ) est la médiatrice du segment [ IJ ].

                                

    b. Justifier que le point K est dans ( L ) . Représenter  ( L ) .

                        ( L ) étant la médiatrice du segment [ IJ ]  et K le milieu

                        du segment [ IJ ] on  a  ( L ) qui passe par K.

                       Conclusion :  K appartient bien  à ( L )           

             3. a. Trouver l'ensemble des points M du  plan  tels que:

                     ( vect( MB ) + vect( MC )  ) . vect( MA ) = 0 .

                         Comme K est le milieu du segment [ BC ]   on a

                         l'égalité :     vect( MB ) + vect( MC ) = 2 vect( MK )

                         L'égalité donnée   ( vect( MB ) + vect( MC )  ) . vect( MA ) = 0

                        devient donc  2 vect( MK ) . vect( MA ) = 0

                         c-à-d     vect( MK ) . vect( MA ) = 0

                    Conclusion :  L'ensemble cherché est donc le cercle de diamètre [ KA ].      

                     Représenter cet ensemble .