INFO INITIATION VAR BTS1

INFO   INITIATION AUX V.A.R.           BTS 1 JANVIER 09

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  • EXERCICE 1 .          A CHERCHER

               Un joueur lance deux dés successivement dont les faces sont numérotées de 1 à 6.            

                Il gagne la somme des deux chiffres en euros.

                L'univers des possibles Ω est l'ensembles des 36 couples ( a , b ) où a et b sont dans

                l'ensemble { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } .

                 Soit X l'application  de Ω  dans IR qui à chaque couple ( a , b )  de Ω associe a + b .

                  X(  Ω ) = { 2 , 3 , 4 , 5 , 6  , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 ,12 }

                  1. Trouver la loi de probabilité de la v.a.r discrète X .

                  2. Trouver E( X ) l'espérance de X.

                 3 . Trouver la variance V( X ).

                 4. Trouver l'écart type σ( x )  .

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   REP                   Faisons un tableau à double entrée pour les sommes.

a \ b 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12

                       On est dans une situation d'équiprobabilité.

              1. Loi de probabilité de X.

x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
P( X =x ) 1 /36 2/ 36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36

           P( X = 2 )  = Card ( X = 2 ) / Card( Ω)       Donc   P( X = 2 ) = 1 / 36

                etc .......

        2. Donnons E( X ) .

E(X ) = 2 ( 1 / 36 )+ 3 ( 2 / 36 )+ 4 ( 3 / 36)+ 5 ( 4 / 36 )+ 6 ( 5 / 36)+ 7 ( 6 / 36)+ 8 ( 5 / 36 )+ 9 ( 4 / 36 )+ 10 ( 3 / 36 )+ 11 ( 2 / 36 )+12 (1/36) 

                 Conclusion:         E( X ) = 7   euros

          3. Donnons V( X).

       On a:

E( X² ) = 4 ( 1 / 36 )+ 9 ( 2 / 36 )+ 16 ( 3 / 36)+ 25 ( 4 / 36 )+ 36 ( 5 / 36)+ 49 ( 6 / 36)+ 64 ( 5 / 36 )+ 81 ( 4 / 36 )+ 100 ( 3 / 36 )+ 121 ( 2 / 36 )+144(1/36) 

 E( X² ) =1974 /36

E( X² ) - ( E( X ) ² ) = (1974 / 36 ) - 49 = 210 / 36 = 35 / 6

              Conclusion:      V(X) ≈ 5, 833

              4. Donnons σ( x ) .

                 Conclusion:         σ( x )  ≈ 2,41     euros.

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   •EXERCICE 2 .    A CHERCHER

                     Dans une fête foraine un stand propose de faire tourner une roue comportant

           10 secteurs égaux; 3 secteurs rouge ; 4 secteurs jaunes ; 3 secteurs verts. 

          • Si le joueur obtient le secteur rouge alors il gagne 16 euros.

          •  Si le joueur obtient le secteur jaune alors il perd 1 2  euros.

          •  Si le joueur obtient le secteur vert alors  il fait de nouveau tourner la roue.

                        • •     Si le joueur obtient le secteur rouge alors il gagne 8 euros.

                        • •     Si le joueur obtient le secteur jaune alors il perd  2  euros.

                        • •    Si le joueur obtient le secteur vert alors  il ne perd rien et ne gagne rien.

                  Soit X le gain algébrique du joueur.

                1. Donner la loi de probabilité de X.

                2. Donner l'espérance de X.

                    ( On commencera  par faire un arbre pondéré.)

               3. Quel devrait être le montant à faire payer par le joueur pour que le jeu soit équitable?

               4. Trouver l'écart-type de X.

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REP 

       1. Les valeurs prises par X sont :   - 12 ; - 2 ; 0 ; 8 ;  16 .                                    

                  La loi de probabilité de X est:                                                                  

x -12 -2 0 8 16
P( X =x) 40 / 100 12 / 100 9 / 100 9 / 100 30 / 100

                     P( X = 16 ) = 3 / 10  car il y a 3 secteurs rouges parmi les 10 secteurs.

                     P( X = - 12 ) = 4 / 10  car il y a 4 secteurs jaunes parmi les 10 secteurs.

                     P( X = 8 ) = P ( V1  )   P( R2 /   V1  ) = ( 3 / 10  ) ( 3 / 10 ) = 9 / 100

                      P( X = - 2 ) =  P ( V1  )   P( J2 /   V1  ) = ( 3 / 10  ) ( 4 / 10 ) =  12 / 100

                       P( X = 0 ) =  P ( V1  )   P( V2 /   V1  ) = ( 3 / 10  ) (3 / 10 ) =  9 / 100

              2. L'espérance de X est:

                    E( X ) = -12 ×( 40 / 100) - 2 ×(12 / 100 ) + 8 ×( 9 / 100 ) + 16 ×( 30 / 100 ) = 0 , 48 

                      E( X ) =  0 , 48

             3.  Pour que l'espérance soit nulle il faut faire payer 0,48 euros au joueur pour jouer.

                 Cela revient à considérer la v.a.r   Y = X - 0,48  dont l'espérance est nulle.

             4. La variance de X est V( X ): 

               V(X) =( -12 )× ( 40 / 100)+ ( - 2)2  × (12 / 100 ) + 8 2 × ( 9 / 100 ) + 162 ×( 30 / 100 )  - 0,482

                   V(X) = 140,4096

              5.  L'écart-type est:          σ( X) = √ V(X) = 11,8495