FEUILLE 6 D'EX. V.A. CONTINUES

                          FEUILLE n° 5  D'EXERCICES SUR LES V.A CONTINUES     TS  AVRIL 2013

 

         EXERCICE 1

         Soit X une variable aléatoire continue de loi normale N( 750 ; 100² )

         Calculer P( X < 700) . 

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          REPONSE :

       On a :   E( X ) = 750    et  σ( X ) =100  

       Il y a plusieurs façon de procéder avec la calculatrice TI 84:

            2ND       VARS        pour avoir accès à DISTR     

              On a à l'écran:

      Loinor

         Nous allons prendre la variable aléatoire de loi normale

         centrée réduite Z  définie par:

              Z = ( X − E(X ) ) /  σ( X )

            c-à-d

            Z = ( X −  750 ) / 100

             Z est de loi normale N ( 0 ; 1 )

      Calculons P( X < 700) 

        On peut dire:

       X < 700    s'écrit     X − 750 <   700 − 750

                        c-à-d       ( X −  750 ) /  100  <   ( 700 − 750) / 100

                       c-à-d        Z < − 50 / 100

                       c-à-d      Z  − 0, 5

         Donc :     P( X < 700 )  = P ( Z < −  0 , 5 )

            Calculons P( Z < − 0,5 )  avec Z de loi normale N( 0 ; 1 ).

             Il y a à ce stade plusieurs rédactions possibles pour la réponse:

                                                  ############################

     • Méthode  avec une table de loi normale centrée réduite.

             On a :             P( Z < - 0,5 ) = ∏( - 0, 5) =  1 - ∏( 0,5 )

            La table donne ∏( 0,5 ).        ( Rappel:  ∏( 0,5 ) = P( Z < 0,5)    )

t 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359
0,1 0,5398 0,5438 0,5478 05517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753
0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141
0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517
0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879
0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224

   0,5  = 0,5 + 0,00               ∏( 0,5 ) ≈ 0,6915

                 Donc  :    P( Z < - 0,5 )  ≈ 1 -   0,6915

                     c-à-d        P( Z < - 0,5 )  ≈  0,3085

                    Conclusion :    P( X < 700 )  ≈  0,3085

                                       ##############################

    • Méthodes avec la calculatrice TI 84 :

         •• On approche − ∞ par − 1099 

                   Ainsi on dit:         P( Z < - 0,5 ) ≈ P( - 1099  < Z < - 0,5 )           

                Sur TI 84

                  2ND       VARS        pour avoir accès à DISTR   

                    normalcdf(       puis   − 1099 , − 0.5  )

                   ENTER    

                   On obtient: 0,3085      pour P( Z < − 0,5 )

                         Conclusion:     P(  X < 700 )  ≈ 0,3085

                                                     ###############################

       •• On peut aussi préférer d'abord transformer l'écriture de P (Z < - 0,5 ).

    On a :      P( Z < - 0,5 ) = ∏( - 0, 5 ) = 1 - ∏( 0, 5)      ( ∏  peut être remplacé par F )

    c-à-d          P( Z < - 0, 5 ) = 1 - ( P( Z ≤ 0 ) + P( 0 < Z < 0,5 )  )                    

   c-à-d   comme   P( Z ≤ 0 ) = 0,5                     ( Rappel : P( Z ≤ 0 ) = P( Z ≥ 0 ) = 0,5 )

                          P (Z < - 0,5 ) = 1 - (  0,5 + P( 0 < Z < -0,5 ) 

                 On cherche  P( 0 < Z < - 0,5 )  à la calculatrice:              

   Sur TI 84

                  2ND       VARS        pour avoir accès à DISTR   

                    normalcdf(       puis    0 ,  0. 5  )

                   ENTER    

            On obtient: 0,1915      pour P( 0 < Z <  0,5 )

                  Donc   P(  Z < - 0,5 ) ≈  1 - (  0,5 + 0,1915  )

                c-à-d       P( Z < - 0 , 5)    ≈ 0,3085

                  Conclusion :    P( X < 700 )  ≈ 0,3085

                                    #####################################"

      •• On  peut tenter  à  la calculatrice d'avoir l'intégrale

                   info17.png

             en remplaçant - ∞ par - 1099 .

                 Mais ici vus 750 et 100 on va  dépasser

                 la capacité de la calculatrice

                  avec  ERR: OVERFLOW

             TI 84  

                               Appuyer sur                Y1  

                             \  Y1  =  ( (1 / ( 750*√( 2* π) ) )* e^ (- 0.5 *( ( x - 750) / 100)^2) )                          

                                 MATH     fnInt( 

                                Y1 , x , - 10^99 , 700 )   

                              ( Pour avoir Y1   appuyer sur VARS puis →  pour avoir Y-VARS

                                ENTER   ENTER )       

                               ENTER

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