INFO DS n° 2 1ES 23 / 10 / 09
EXERCICE 1
1. Résoudre dans IR3 le système suivant:
---------------------------------------------------------------------------------------------
Réponse: Méthode du Pivot de GAUSS
( ou par triangularisation )
Considérons: L2 ← L2 - 2 L1
L3 ← L3 - 3 L1
On a le système équivalent suivant:
1 x - 2 y + 3 z = 2 L1 ( En rouge le premier Pivot )
3 y - 4 z = - 1 L2
- y + z = 0 L3 ( On peut dire y = z et remplacer z par y dans L2 .
Considérons: L2 ↔ L3 Puis avoir y ensuite z et enfin x )
On a le système équivalent suivant:
x - 2 y + 3 z = 2 L1
- 1 y + z = 0 L2 ( En rouge le deuxième Pivot )
3 y - 4 z = - 1 L3
Considérons: L3 ← L3 + 3 L2
On a le système équivalent suivant:
x - 2 y + 3 z = 2 L1
- y + z = 0 L2
- z = - 1 L3
L3 donne: z = 1
Puis L2 donne: y = z = 1
c-à-d y = 1
Enfin L1 donne: x = 2 y - 3 z + 2
c-à-d x = 2 - 3 + 2 = 1
c-à-d x = 1
Conclusion: SIR3 = { ( 1 , 1 , 1 ) }
------------------------------------------------------------------------------
2. Résoudre graphiquement le système:
--------------------------------------------------------------------------------------
Réponse:
Dans chaque inéquation on isole y quand il figure.
Le système d"inéquations s'écrit ainsi: :
y > ( 1 / 2 ) x - 1 L1
y ≤ 2 x + 3 L2
y > ( 3 / 2 ) x - 3 L3
x > 0 L4
• Pour L1 on trace la droite D d'équation y = ( 1 / 2 ) x - 1 .
. Le bon demi-plan est strictement au dessus de D.
• Pour L2 on trace la droite D' d'équation y = 2 x + 3 .
Le bon demi-plan est au dessous , au sens large, de D' .
• Pour L3 on trace la droite D'' d'équation y = ( 3 / 2 ) x - 3 .
Le bon demi-plan est strictement au dessus de D''.
• Pour L4 on trace la droite D''' d'équation x = 0 .
Le bon demi-plan est strictement à droite de D''' .
Figure:
Conclusion: Les couples ( x , y ) de réels qui sont solutions sont les
les couples coordonnées des points de la zone non colorée
en acceptant les points de la frontière D'.
------------------------------------------------------------------------------------------
EXERCICE 2
Alexandre a gagné 100 000 € au loto en décembre 2000.
Son banquier lui a proposé deux placements possibles au 01/01/2000.
1• Le placement A à intérêts simples au taux de 5 %.
On note u0 = 100 000 € le le capital de Alexandre au 01/01/2000.
On note un le capital d'Alexandre au 01/01/ 2000 + n
où n est un entier naturel.
a. Trouver u1 et u2 .
b. Conjecturer la relation entre un + 1 et un .
c. Conjecturer la relation entre un et u0 .
2• Le placement B à intérêts composés au taux de 2%.
On note v0 = 100 000 € le le capital de Alexandre au 01/01/2000.
On note vn le capital d'Alexandre au 01/01/ 2000 + n
où n est un entier naturel.
a. Trouver v1 et v2 .
b. Conjecturer la relation entre vn + 1 et vn .
c. Conjecturer la relation entre vn et v0 .
3. A partir de quelle année le placement B sera - t - il plus intéressant?
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Réponse:
1. a. Trouver u1 et u2 .
On a : u1 = u0 + u0 × 5 %
c-à-d u1 = 100 000 + 100 000 × 5 %
c-à-d u1 = 100 000 + 5000 = 105 000
Conclusion: u1 = 105 000 €
On a : u2 = u1 + 5000 = 105 000 + 5000
Conclusion: u2 = 110 000 €
b. Conjecturer la relation entre un + 1 et un .
Conclusion: un + 1 = un + 5000 pour tout n dans IN.
c. Conjecturer la relation entre un et u0 .
Conclusion: un = u0 + n × 5000 pour tout n dans IN.
2. a. Trouver v1 et v2 .
On a : v1 = v0 + v0 × 2 % = v0 ×( 1 + 2% ) = v0 × 1,02
c-à-d v1 = 100 000 + 100 000 × 2 %
c-à-d v1 = 100 000 + 2000
Conclusion: v1 = 102 000 €
On a : v2 = v1 + v1 × 2 %
c-à-d v2 = v1 × ( 1 + 2 % )
c-à-d v2 = v1 × 1,02
c-à-d v2 = 102 000 × 1,02 = 104 040
Conclusion: v2 = 104 040 €
b. .Conjecturer la relation entre vn + 1 et vn .
Conclusion: vn + 1 = 1,02 × vn pour tout n dans IN.
c. Conjecturer la relation entre vn et v0 .
Conclusion: vn = v0 × 1,02n pour tout n dans IN.
3. A partir de quelle année le placement B sera - t - il plus intéressant?
On a : u80 = 500 000 €
v80 ≈ 487 543,91 €
u81 = 505 000 €
v81 ≈ 497 294,79 €
u82 = 510 000 €
v82 ≈ 507 240 €
u83 = 515 000 €
v83 ≈ 517 385,50 €
Conclusion: C'est à partir de l'année 2000 + 83
c-à-d en 2083
-----------------------------------------------------------------------------------------