INFO DS n° 2 23/10/09 1 ES

     INFO  DS n° 2     1ES                 23 / 10 / 09

         EXERCICE 1

                     1.  Résoudre dans IR3  le système suivant:

                             

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         Réponse:    Méthode du Pivot de GAUSS

                           ( ou par triangularisation )

             Considérons:   L2 ← L2 - 2 L1

                                                 L3 ← L3 - 3 L1    

              On a le système équivalent suivant:

                           1 x -  2 y  + 3 z   =  2           L1               ( En rouge le premier Pivot )

                                   3 y -  4 z   =  - 1          L2  

                                   -  y  +  z   =  0             L3                ( On peut dire y = z et remplacer z par y dans L2 .

              Considérons:     L2 ↔ L3                                                  Puis avoir y  ensuite  z  et enfin x )

              On a le système équivalent suivant:

                             x -  2 y  + 3 z   =  2           L1  

                                    - 1 y  +  z   =  0          L2           ( En rouge le deuxième  Pivot ) 

                                    3 y -  4 z   =  - 1          L3  

                Considérons:   L3 ← L3 + 3 L2  

                On a le système équivalent suivant:

                             x -  2 y  + 3 z   =  2           L1  

                                    -  y  +  z   =  0            L2  

                                           -   z   =  - 1          L3  

               L3    donne:       z = 1

              Puis    L2       donne:    y = z = 1

                                          c-à-d      y = 1

             Enfin  L1   donne:   x = 2 y - 3 z + 2

                              c-à-d    x = 2 - 3 + 2 = 1

                                     c-à-d     x = 1

             Conclusion:             SIR3 = { ( 1 , 1 , 1 ) }

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                      2. Résoudre graphiquement le système:

                             

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        Réponse:

              Dans chaque inéquation on isole y quand il figure.

                 Le système d"inéquations s'écrit ainsi: :

                       y  > ( 1 / 2 ) x - 1              L1     

                      y       2 x + 3                   L2     

                      y   >  ( 3 / 2 ) x  -  3           L3    

                     x > 0                                  L4                 

             • Pour   L1           on trace la droite D d'équation    y  = ( 1 / 2 ) x - 1 .

.                                               Le bon demi-plan est strictement au dessus de D.

             • Pour L2              on trace la droite D' d'équation    y  = 2 x + 3  .  

                                                 Le bon demi-plan est  au dessous , au sens large, de D' .

            • Pour L3                 on trace la droite D'' d'équation    y  = ( 3 / 2 ) x  -  3   .

                                                     Le bon demi-plan est strictement au dessus de D''.

             • Pour L4                 on trace la droite D''' d'équation  x = 0  .

                                                   Le bon demi-plan est strictement à droite de   D''' .

               Figure

                                                               

                                            

        Conclusion:   Les couples ( x , y ) de réels qui sont solutions  sont les   

                           les couples coordonnées des points de la zone   non colorée

                           en acceptant les points de la frontière D'.

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          EXERCICE 2

                          Alexandre a gagné 100 000 € au loto en décembre 2000.

                     Son banquier lui a proposé deux placements possibles au 01/01/2000.

                   1• Le placement A à intérêts simples au taux de 5 %.

                     On note u0 = 100 000 €  le   le capital de Alexandre au 01/01/2000.

                     On note un   le capital d'Alexandre au 01/01/ 2000 + n  

                     où n est un entier naturel.

                           a. Trouver u et  u2   .

                           b. Conjecturer la relation entre  un + 1   et  un  .

                           c.  Conjecturer la relation entre  uet  u0 .

                      2• Le placement B à intérêts composés  au taux de 2%.

                      On note v0 = 100 000 €  le   le capital de Alexandre au 01/01/2000.

                            On note vn   le capital d'Alexandre au 01/01/ 2000 + n  

                      où n est un entier naturel.

                           a. Trouver v et  v2   .

                          b. Conjecturer la relation entre   vn + 1   et  vn   .

                          c.  Conjecturer la relation entre  vet  v0 .

                         3. A partir de quelle année le placement B sera - t - il plus intéressant?

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             Réponse:

       1.   a. Trouver u et  u2   .

                    On a :                      u1    u +   u × 5 %

                    c-à-d                      u1    =  100 000 + 100 000  × 5 %

                    c-à-d                           u1    100 000  +   5000 = 105 000

                Conclusion:   u1    = 105 000  €

                     On a :             u2    u +   5000 = 105 000 + 5000

                        Conclusion:    u2    110 000  €

                 b. Conjecturer la relation entre  un + 1   et  un  .

                        Conclusion:  un + 1    u+  5000          pour tout  n dans IN.

                c.  Conjecturer la relation entre  uet  u0 .

                        Conclusion:  un     =    u + n × 5000     pour tout  n dans IN.

         2.  a. Trouver v et  v2   .

                      On a :           v1    = vv × 2 % = v0  ×( 1 + 2% ) = v0  × 1,02

                        c-à-d           v1    = 100 000 + 100 000 × 2 % 

                        c-à-d              v1    100 000  +  2000

                            Conclusion:   v1    = 102 000  €

                          On a :           v2    = v1    v1 × 2 %   

                           c-à-d           v2    v × ( 1 + 2 %    )

                           c-à-d           v2    v × 1,02

                            c-à-d           v2    102 000 × 1,02 = 104 040

                              Conclusion:   v2    = 104 040 €

                     b. .Conjecturer la relation entre   vn + 1   et  vn   .

                            Conclusion:           vn + 1   = 1,02   × vn     pour tout  n dans IN.

                     c.  Conjecturer la relation entre  vet  v0 .

                             Conclusion:           vn    = v0   × 1,02n          pour tout  n dans IN. 

                      3. A partir de quelle année le placement B sera - t - il plus intéressant?

                           On a :          u80    =  500 000 €

                                                   v80    ≈ 487 543,91 €

                                                               u81    =   505 000 €

                                                               v81    ≈    497 294,79 €

                                                 u82    =  510 000 €

                                                 v82    ≈    507 240 €

                                                             u83    =  515 000 €

                                                             v83    ≈    517 385,50 €

                                      Conclusion:   C'est à partir de l'année 2000 + 83 

                                                                       c-à-d en 2083

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