SUITE 7 DU COURS : NOMBRES COMPLEXES 24 sept. 2010
1.Propriété.
Soit θ un argument d'un nombre complexe non nul z.
Soit θ' un argument d'un nombre complexe non nul z'.
Soit n un entier naturel. non nul.
Alors:
- θ est un argument de son inverse 1 / z et de son conjugué
.
θ + θ' est un argument de z + z ' .
θ - θ' est un argument de z - z ' .
n θ est un argument de zn. ( Démonstration par récurrence )
2. Formule de MOIVRE.
( cos( θ ) + i sin ( θ ) )n = cos( n θ ) + i sin( n θ )
pour tout n dans IN et tout θ dans IR.
( Démonstration par récurrence )
3. Propriété.
Soit des points A , B , C , D avec A ≠ B et A ≠ C et C ≠ D.
Alors:
( vect( AB ) , vect( AC ) ) = arg( ( zC - zA ) / ( zB - zA ) ( 2 π )
De plus ( vect( AB ) , vect( CD ) ) = arg( ( zD - zC ) / ( zB - zA ) ( 2 π )
( Démonstration à partir de la relation de Chasles des angles orientés )
6. Ex.
Soit les points A( 1 + i ) , B( 4 + 4 i ) et C( ( 7 - 3 √3 ) / 4 + i ( 7 +3 √3 ) / 4 ).
Trouver une mesure de l'angle ( vect( AB ) , vect( AC ) ).
Réponse: On a après quelques calculs ordinaires:
c-à-d ( zC - zA ) / ( zB - zA ) = ( 2 + 2 i √3 ) / 8
c-à-d ( zC - zA ) / ( zB - zA ) = ( 1 + i √3 ) / 4
c-à-d ( zC - zA ) / ( zB - zA ) = ( 1 / 2 ) [ ( 1 + i √3 ) / 2 ]
or ( 1 + i √3 ) / 2 = ei(π / 3)
c-à-d ( zC - zA ) / ( zB - zA ) = ( 1 / 2 ) ei(π / 3)
Donc arg ( ( zC - zA ) / ( zB - zA ) ) = π / 3 ( 2π )
Conclusion : ( vect( AB ) , vect( AC ) ) = π / 3 ( 2π )
7.TRADUCTION COMPLEXE D'UNE ROTATION.
Soit θ un nombre réel.
La traduction complexe de la rotation R de centre Ω ( zΩ ) et d'angle θ est :
z ' - zΩ = ei θ ( z - zΩ )
avec le point M( z ) d'image M ' ( z ' ).
Quand θ = π / 2 on obtient :
z ' - zΩ = i ( z - zΩ )
avec le point M( z ) d'image M ' ( z ' ).
8. Résolution d'une équation de la forme a cos x + b sin x = c ( 1 )
avec a, b , c des réels et ( a , b ) ≠ ( 0 , 0 ).
On pose r =√ ( a² + b² )
Puis on cherche un réel θ tel que :
cos ( θ ) = a / r et sin( θ ) = b / r
( 1 ) s'écrit alors sous la forme : cos( x - θ ) = c / r
La résolution se ramène alors à celle d'une équation de la forme cos α = β .
9.Formules déduites des formules de Mr. Euler.
Pour tout réel θ on a :
cos( θ ) = ( ei θ + e- i θ ) / 2
sin( θ ) = ( ei θ - e- i θ ) / ( 2 i )
( Utiles pour linéariser )
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