Suite 7 du cours: Nb COMPLEXES

Suite 7 du cours: Nb COMPLEXES

                         SUITE  7 DU COURS :  NOMBRES COMPLEXES                 24 sept. 2010

 

             1.Propriété.

                  Soit θ un argument d'un nombre complexe non nul z.

                   Soit θ'  un argument d'un nombre complexe non nul z'.

                   Soit n un entier naturel. non nul.

                  Alors:

                 - θ   est un argument de son inverse 1 / z et de son conjugué

                    Conjugué de z 1.

                    θ +  θ'  est un argument de z + z '  .

                    θ -  θ'  est un argument de  z - z ' .

                     n θ  est un argument de zn.  ( Démonstration par récurrence )

         2. Formule de MOIVRE.

                 (  cos(  θ ) + i sin (  θ ) )n   =  cos( n  θ ) + i  sin( n  θ )   

                  pour tout n dans IN et tout  θ dans IR.

                    ( Démonstration par récurrence )

         3. Propriété.

             Soit des points A , B , C , D avec  A ≠ B   et  A ≠ C  et C ≠  D.

            Alors:

                          ( vect( AB ) , vect( AC ) ) = arg(  ( zC - zA   ) /  ( zB - zA )    ( 2 π )

                                     

              De plus    ( vect( AB ) , vect( CD ) ) = arg(  ( zD - zC  ) /  ( zB - zA )    ( 2 π )

                           

                           ( Démonstration à partir de la relation de Chasles des angles orientés )

            6. Ex.

                   Soit les points  A( 1 + i ) , B( 4 + 4 i ) et  C(  ( 7 - 3 √3 ) / 4  +  i ( 7 +3 √3 ) / 4  ).

                   Trouver une mesure de l'angle ( vect( AB ) , vect( AC ) ).

                   Réponse:     On a  après quelques calculs ordinaires:

                                    

                                   

                   c-à-d              ( zC  - zA  ) / ( zB - zA ) =  ( 2 + 2 i √3 ) / 8

                    c-à-d              ( zC  - zA  ) / ( zB - zA ) =  ( 1 + i √3 ) / 4

                    c-à-d                      ( zC  - zA  ) / ( zB - zA ) = ( 1 / 2 ) [ ( 1 + i √3 ) / 2  ]    

                         or                      ( 1 + i √3 ) / 2  = ei(π / 3) 

                    c-à-d                 ( zC  - zA  ) / ( zB - zA ) = ( 1 / 2 ) ei(π / 3)    

                                   Donc         arg (    ( zC  - zA  ) / ( zB - zA )  ) = π / 3    ( 2π )

                                      Conclusion :    ( vect( AB ) , vect( AC ) ) = π / 3    ( 2π )      

           7.TRADUCTION COMPLEXE D'UNE ROTATION. 

                Soit   θ  un nombre réel.

                La traduction complexe de la rotation R de centre  Ω ( zΩ ) et d'angle  θ  est :

                   z ' -  zΩ   =   ei  θ   ( z -   zΩ   )

                   avec le point M( z ) d'image M ' ( z ' ).

                  Quand   θ =  π / 2  on obtient  :                          

                     z ' -  zΩ   =   i  ( z -   zΩ   )

                   avec le point M( z ) d'image M ' ( z ' ).

                8. Résolution d'une équation de la forme    a cos x + b sin x = c        ( 1 )

                    avec  a, b , c des réels et  ( a , b )  ≠  ( 0 , 0 ).

                    On pose r =√ ( a² + b² )      

                    Puis on cherche un réel  θ tel que :     

                         cos (  θ ) = a / r              et sin(  θ ) = b / r

                    ( 1 ) s'écrit alors  sous la forme :  cos( x -  θ ) = c / r  

                   La résolution se ramène alors à celle d'une équation de la forme cos α  =  β .

                 9.Formules déduites des formules de Mr. Euler.

                    Pour tout réel  θ on a :

                     cos(  θ ) = ( ei θ +  e- i θ ) / 2

                      sin(  θ ) =  (  ei θ  -  e- i θ ) /   ( 2 i )

                    ( Utiles pour linéariser )

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