INFO DV maison 1ES-L Samedi 2 déc. 2011

          DEVOIR MAISON    1 ES - L      Samedi 2 dédembre 2011

       EXERCICE 1

          Trouver la fonction dérivée de la fonction

               f : x → x  +  1 / ( x + 1 )

            ( Dans ce cas Df  et Dd seront indiqués  )

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          Réponse : 

         Soit les fonctions u : x → x   et    v : x → x + 1

         On a:                 f = u +  1 / v

                 La fontion affine u est définie et dérivable dans IR.

                La fonction v est définie , dérivable et non nulle dans IR - { -1 }

               Donc la fonction u + 1 / v  est définie sur IR - { - 1 }.

                De plus on a :     f ' = ( u + 1 / v ) '  = u ' -  v ' / v2

                Or :                   u ' : x → 1               et          v ' : x → 1

                                 f ' : x   → 1 -   1 / ( x + 1 )2             

        Conclusion :    Df = IR - { -1 }      DdIR - { - 1 }   

          f ' : x → 1 -   1 / ( x + 1 )2 
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     EXERCICE 2

               Donner la fonctions dérivée de la fonction g : x   → 12 - 3 x2

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       Réponse:    g : x   12 - 3 x2

                          g est une fonction polynôme .

                          Elle est donc définie et dérivable sur IR   .

                          Ainsi:     g '  : x    →  0 - 3 × 2 x2-1  

                     c-à-d           g '  : x    →  - 3 × 2 x        

                                       g '  : x     →  - 6 x    

             Conclusion :       Dg = IR     Dd  = IR     g '  : x    →  - 6 x 

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      EXERCICE 3

             Soit la fonction polynôme d'expression

                k( x ) =   5 x3 - 2 x2 + 3 x - 2 

               Donner la fonction dérivée k ' de k .

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    Réponse:

             Comme fonction polynôme, la fonction k est définie et dérivable dans IR.

            Directement on peut écrire:

                             k ' : x   → 5 × ( 3x3-1  )  -  2 × ( 2 x2-1 ) + 3

    c-à-d                 k ' : x  → 15 x -  4 x + 3

         Conclusion:       Dk = IR      Dg = IR        k ' : x →15 x2 - 4 x + 3               

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          EXERCICE 4

                   Soit la fonction d'expression  f( x ) = ( x - 1 ) / ( x + 1)

                   Donner sa fonction dérivée f '.

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 Réponse:       On a pour tout x dans IR - { - 1 }:

                       f( x ) = ( x - 1 ) / ( x + 1)  =  ( x + 1 - 1 -1 ) / ( x + 1)

         c-à-d      f( x ) = ( x + 1 - 2 ) / ( x + 1 )

         c-à-d      f( x ) =( x + 1 ) / ( x + 1 )   - 2 / ( x + 1 )

         c-à-d       f( x ) = 1 -  2  / ( x + 1 )

            Soit la fonction v : x → x + 1

            On a:     f  = 1 - 2 / v  =  1 - 2 × ( 1 / v )

             Comme la fonction v est définie , non nulle et dérivable IR - { - 1 }

             f est bien définie et dérivable sur IR - { - 1 }.

             De plus :  v ' : x → 1

              On a    f '  =  - ( - 2 v ' / v)

                Soit x dans IR - {-  1 }    

                 f '( x ) =  2 / ( x + 1 )2

                 Conclusion :          f '  : x →  2  / ( x + 1 )2                               

                                 Df   = IR - { - 1 }       Dd     = IR - { - 1 }                    

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      EXERCICE 5

         Donner la fonction dérivée de la fonction

                  f : x → ( 4 x + 1 ) / ( 3 - x )

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 Réponse:          f est une fonction rationnelle définie dans IR - { 3 }.

                         A ce tître on pourrait déjà dire qu'elle est dérivable dans IR - { 3 }.

        Soit les fonctions affines :

                  u : x → 4 x + 1

                  v : x → 3 - x

          Les fonctions u et v sont définies et dérivables sur IR - { 3 } et

          v est non nulle sur IR - { 3 }.

          On a :     f = u / v

         Donc la fonction f est définie et dérivable dans IR - { 3 }.

         On a :        f '  = ( u / v ) ' = ( v u ' - u v ' ) / v 2  

         Ici :           u ' : x → 4

                          v ' : x → - 1

         Soit x dans IR - { 3 }.

        f ' ( x ) = ( ( 3 - x ) × 4 - ( 4 x + 1 ) ×( - 1 )  ) / ( 3 - x )2   

  c-à-d 

         f ' ( x ) = ( 12 - 4 x + 4 x + 1 ) / ( 3 - x )2    

 c-à-d

          f ' ( x ) =  13  / ( 3 - x )2    

        Conclusion :   f ' : x 13  / ( 3 - x )2    

                 Df = Dd = R - { 3 }

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