INFO EX en demi groupe 28 / 09 /12 TS

                  INFO     EXERCICE  en demi groupe        28 / 09 / 12             TS1  sur les suites

        EXERCICE 

           On considère deux suites ( un ) et ( vn ) définies sur IN telles que:

       • ( un ) est croissante         • ( vn ) est décroissante        •  lim ( vn - un ) = 0

                                                                                                   n → + ∞

                Ces deux suites sont appelées adjacentes.

          L'objectif de cet exercice est de prouver que deux suites adjacentes sont

          convergentes et ont la même limite.

      1. On considère la suite ( tn ), définie sur IN, par  tn = vn  - un  pour tout n dans IN .

          a. Montrer que la suite ( tn ) est décroisssante sur IN .

           b. Démontrer que, pour entier naturel n , t ≥ 0.

      2. a . Démontrer que la suite ( un ) est majorée et que la suite ( vn ) est minorée.  

          b. En déduire que les suites ( un ) et ( vn ) sont convergentes et de même limite.

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   REPONSE:

                 1. a  Montrons que la suite ( tn ) est décroissante sur IN .

                     Soit n dans IN quelconque.

                        On a :       tn = vn - un

                                        tn + 1 = vn + 1 - un + 1

    Par soustraction:        ---------------------------------

                                    tn + 1 - tn  =  vn + 1 - un + 1  - (  vn - un  )

            c-à-d                  tn + 1 - tn  =  vn + 1 - vn  - (  un + 1  -  un  )  

       Mais comme la suite ( vn ) est décroissante on a :       vn + 1 - vn  ≤ 0  

     et comme la suite ( un ) est  croissante on a  :    un + 1  -  un  ≥ 0 

                                                                    c-à-d   - (   un + 1  -  un )  ≤ 0 

      Donc  tn + 1 -  tn  est la somme de deux réels négatifs.

     On en conclut que :

              Conclusion :    tn + 1 -  tn   ≤ 0  pour tout n dans IN.

     b.  Démontrons  que, pour entier naturel n , t ≥ 0.

        On dispose de deux informations:

               •       lim ( vn - un ) = 0       c-à-d        lim tn  = 0

                      n → + ∞                                     n → + ∞

              •   La suite ( tn ) est décroissante sur IN.

    On en déduit que :  

       Conclusion :   t ≥ 0  pour tout n dans IN.

     2. a . Démontrons que la suite ( un ) est majorée et

             que la suite ( vn ) est minorée.  

         inegalites-successives-2.jpg       

   • De plus :

                explication11-1.gif

          min-et-maj.gif

   annonce.gif 

         

            texte12.gif

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