INFO EXERCICE en demi groupe 28 / 09 / 12 TS1 sur les suites
EXERCICE
On considère deux suites ( un ) et ( vn ) définies sur IN telles que:
• ( un ) est croissante • ( vn ) est décroissante • lim ( vn - un ) = 0
n → + ∞
Ces deux suites sont appelées adjacentes.
L'objectif de cet exercice est de prouver que deux suites adjacentes sont
convergentes et ont la même limite.
1. On considère la suite ( tn ), définie sur IN, par tn = vn - un pour tout n dans IN .
a. Montrer que la suite ( tn ) est décroisssante sur IN .
b. Démontrer que, pour entier naturel n , tn ≥ 0.
2. a . Démontrer que la suite ( un ) est majorée et que la suite ( vn ) est minorée.
b. En déduire que les suites ( un ) et ( vn ) sont convergentes et de même limite.
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REPONSE:
1. a Montrons que la suite ( tn ) est décroissante sur IN .
Soit n dans IN quelconque.
On a : tn = vn - un
tn + 1 = vn + 1 - un + 1
Par soustraction: ---------------------------------
tn + 1 - tn = vn + 1 - un + 1 - ( vn - un )
c-à-d tn + 1 - tn = vn + 1 - vn - ( un + 1 - un )
Mais comme la suite ( vn ) est décroissante on a : vn + 1 - vn ≤ 0
et comme la suite ( un ) est croissante on a : un + 1 - un ≥ 0
c-à-d - ( un + 1 - un ) ≤ 0
Donc tn + 1 - tn est la somme de deux réels négatifs.
On en conclut que :
Conclusion : tn + 1 - tn ≤ 0 pour tout n dans IN.
b. Démontrons que, pour entier naturel n , tn ≥ 0.
On dispose de deux informations:
• lim ( vn - un ) = 0 c-à-d lim tn = 0
n → + ∞