TEST EXERCICE DE SPECIALITE S 2017 Nouvelle Calédonie
EXERCICE 3
Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
On considère un groupe de jeunes abonnés à un service de location de livres ou de films
D'un mois à l'autre :
• On admet que 89% des jeunes abonnés ayant choisi d'emprunter un livre,
optent pour encore emprunter un livre le mois suivant.
• Parmi les jeunes abonnés ayant emprunté un film, 14% changent
le mois suivant en décidant de choisir d'emprunter un livre.
Soit un jeune abonné quelconque.
on convient que le mois de janvier 2016 correspond au mois n = 0
Pour tout entier naturel n, on note An l’événement , le n ième mois il
a emprunté un livre et Bn l’événement , le n ième mois il a emprunté un film.
On note : an = P( An ) et bn = P( Bn ) pour tout entier naturel n
En janvier 2016 on admet qu'il y a 80% de chance qu'il emprunte un livre.
1.Représenter cette situation par un graphe probabiliste de sommet A et B.
A est l'état : " Le jeune abonné choisit d'emprunter un livre "
B est l'état :"Le jeune abonné choisit d'emprunter un film"
2.Donner la matrice de transition M associée à ce graphe, en prenant
les sommets A ,B dans ce ordre.
3. Déterminer la répartition des jeunes abonnés selon leur choix d'emprunt,
en février 2016 et mars 2016.
4.a.Montrer que pour tout entier naturel n, an+1 = 0,89 an + 0,14 bn
b. En déduire que pour entier naturel n, an+1 = 0,75 an + 0,14.
c. Pour déterminer au bout de combien de mois le pourcentage de
jeunes abonnés empruntant un livre deviendra pour la première fois
strictement inférieur à 60%, on décide de programmer un algorithme.
Modifier l'algorithme ci-dessus pour qu'il permette d'afficher la réponse
à cette question.
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Initialisation: a prend la valeur 0,8 n prend la valeur 1 Traitement: Tant que a≥ 0,6 a prend la valur 0,75 a + 0,14 Fin Tant que Sortie: Afficher n |
5. Soit ( un ) la suite définie pour tout entier naturel n par : un = an − 0,56
a. Démontrer que la suite ( un ) est une suite géométrique de
raison 0,75 et préciser son terme initial.
b. En déduire que, pour tout entier naturel n, an = 0,24 × 0,75n + 0,56.
6. Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation an < 0,6 et
interpréter le résultat obtenu dans le contexte.
7. A long terme que peut-on penser de la probabilité qu'un jeune
abonné choisisse d'emprunter un livre?
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