EX2 Oblig. Juin 2019 INFO

               INFO                  EX 2   Obligatoire             BAC S   Juin 2019

       Ex2 d

        Ex2 c 2

        Partie A

       1. a.Donnons la durée moyenne  d'une partie de type A

               XA est de loi uniforme sur [ 9 , 25 ].

                Donc: E(   XA  ) = ( 9 + 25 ) / 2 = 24 / 2 = 12

              Conclusion: La moyenne( c-à-d l'espérance) est 12   en minutes

          b.  Donnons à l'aide du graphique la duréee moyenne de XB .             

               XB est de loi normale N (µ ; 3 ).

            L'axe de symétrie de de la courbe de la fonction densité de probabilité est d'équation x = 17.

          Donc:

             Conclusion :   µ = 17 en minutes

      2. Donnons la probabilité que la durée du jeu soit inférieur à 20 mn sachant qu'on choisit 

          de façon équiprobable l'un des jeux.

           On veut :   0, 5 P  ( XA < 20 ) + 0,5 P(XB < 20 )

            Or :     P( XA < 20 ) = ( 20 − 9 ) / ( 25  − 9  ) = 11 / 16

             et      P( XB < 20 ) ≈ 0,841345            normalFRep(− 10− 99​, 20,17,3)  ≈ 0,841345  

          Donc :     0, 5 P  ( XA < 20 ) + 0,5 P(XB < 20 ) ≈ 0,764422

               Conclusion:  La probabilité que le jeu dure moins de 20 mn quand

                quand on choisit au hasard le jeu,  est  0,76     

 Ex2 f

          Partie B

       1.a. Complétons l'arbre pondéré .

               Tabbac2019

        b. Montrons que pour tout entier naturel non nul ,

                an + 1 = 0,5 an + 0,3

            D'après l'arbre et l'énoncé:

              P( An ) = an

               P( Bn )  = 1 −  an

               P( An + 1  / An ) = 0,8           ( notation plus pratiques pour une probabilité conditionnelle ) 

               P( Bn + 1  / Bn ) =  0,7     Donc      P( An + 1  / Bn ) = 1 − 0,7 =  0,3

            On a :

              An + 1  =  (   An  ∩ An + 1  ) U ( B ∩ An + 1  )

               Comme   An  ∩ An + 1    et  B ∩ An + 1   sont incompatibles  

                  on a :   P(    An + 1  ) = P (   An  ∩ An + 1  ) + P ( B ∩ An + 1  )

  c-à-d             P( An + 1   ) =  P( An )  P( An + 1  / An ) + P( Bn )  P( An + 1  / Bn )   

                  Cela se traduit avec les notations de l'énoncé par:

                    an + 1 = 0, 8  an   + 0,3 ( 1 −  an  )

        c-à-d 

        an + 1 =  0, 8  an   + 0,3  − 0,3 an  

         c-à-d 

                  an + 1 =  0, 5  an   + 0,3

         Conclusion : L'égalité  an + 1 =  0, 5  an   + 0,3 est vraie pour tout n dans  IN*

     Ex2 a 1

   Ex1 k 1

          2 . Etude particulière.    a = 0,5   .ATTENTION : Il faut comprendre a1 = 0,5

             a. Montrons par récurrence sur IN* , que  0 ≤ an ≤ 0,6

                • n = 1

                    a1 =  0, 5     On a bien     0 ≤    a1   ≤  0,6

              •  Soit n un élément de dansI N* quelconque .

               Montrons que si   0 ≤    a  ≤  0,6   alors   0 ≤    an +1   ≤  0,6

             Considérons :   0 ≤    a  ≤  0,6  

             Alors               0  ≤   0,5 a  ≤  0,5 ×0,6  

           Puis           0,3  ≤   0,5 a  + 0,3 ≤  0,5 × 0,6  + 0,3

                c-à-d :     0,3      an + 1      ≤  0,45 

         Donc :   0 ≤    an +1   ≤  0,6

                 Conclusion : L'encadrement est prouvé sur IN*

          b.Montrons que la suite ( an ) est croissante  sur IN*.

                 an + 1 = 0,5 an + 0,3

                  Donc :    an + 1 − an  =  0,3 − 0,5 an   

                 Comme   0 ≤    an    ≤  0,6   on a           0  ≥   −  an    ≥  − 0,6       

                Donc      0,5   ≥   − 0,5 an    ≥  − 0,5 × 0,6    

             Puis :       0,5 + 0,3   ≥  0,3 − 0,5 an    ≥ 0,3 − 0,5 × 0,6  

                c-à-d      0,8   ≥  an + 1 − an      ≥  0

                      Comme   an + 1 − an      ≥  0   pour tout n dans IN*

              Conclusion : La suite ( an ) est bien croissante sur IN*.

               c. Montrons que la suite (  an ) est convergente et donnons sa limite.

             •   La suite est (  an ) est majorée par 0,6      car    an    ≤  0,6     pour tout n dans IN*

             •   La suite est  croissante sur IN*.

               Conclusion:   D'après un résultat de cours, elle est donc  convergente.

               Soit L sa limite finie.    

                On a:    0   ≤  L   ≤  0,6     car     0   ≤   an    ≤  0,6     pour tout n dans IN*

               On a vu que :      an + 1 = 0,5 an + 0,3    pour tout n dans IN* .

               Donc :    L =  lim  an + 1 =  lim ( 0,5 an + 0,3   ) = 0,5 L + 0,3

                                  x   + ∞              x → + ∞

                 La seule limite possible pour cette suite est donc le réel L tel que :

                          0   ≤  L   ≤  0,6

                       et  L =  0,5 L + 0,3

             c-à-d    

                        0   ≤  L   ≤  0,6 

                       et  0,5 L =  0,3

                c-à-d

                      0   ≤  L   ≤  0,6

                      et   L = 0,6

             Conclusion : La suite  an )  converge vers  0,6

             3. Cas général .  Soit a dansl'intervalle [ 0, 1 ]. Donc  a1  dans  [ 0, 1 ]

               Soit   un = a − 0,6   pour tout n dans IN*

               a. Montrons que la suite ( u) est géométrique.

                       Pour tout n dans IN*

                        un+1 = an+1 − 0,6

                        Or   an+1 = 0,5 an + 0,3

                     Donc :       un+1 =  ( 0,5 an + 0,3 )   − 0,6

                    c-à-d           un+1   = 0,5 an − 0,3

                      Mais            a=   un  + 0, 6

                   c-àd             un+1   =    0,5  ( un + 0,6 ) − 0,3 = 0,5 un  + 0,3 − 0,3

                     c-à-d             un+1    = 0,5 un     pour tout n dans IN*

                 Conclusion : La suite (un ) est géométrique de raison 0,5                   

               Son  premier terme u1 = a1 − 0,6 =  a − 0,6

                  c-à-d   u1  =  a − 0,6

              b. Montrons que pour tout n dans IN*  on a 

                         an = ( a − 0,6 ) × 0,5 n − 1   + 0,6

               Le terme général d la suite géométrique  (un) est :

                un =  u1  0,5 n − 1    pour  tout n dans IN*

               Or :  u1 =   a − 0,6

              Donc :   un   = ( a − 0,6 ) × 0,5 n − 1  

                Comme   un = an − 0,6      on a   an = un + 0,6

                 Ainsi    an = ( a − 0,6 ) × 0,5 n − 1  + 0,6     pour  tout n dans IN*

                 Conclusion : L'égalité  est avérée.

            c. Donnons la limite de la suite (  an  )

                Comme    − 1 < 0,5 < 1  on a

                lim 0,5 n − 1  = 0

                 n  + ∞

                 Donc    lim ( ( a − 0,6 ) × 0,5 n − 1  + 0,6 ) = ( a − 0,6 ) × 0  + 0,6 = 0,6

                                n  + ∞

                   c-à-d 

                       lim a= 0,6

                        n  + ∞   

                    Conclusion:

                                lim a= 0,6

                               n  + ∞          
                    Cette limite ne dépend pas de la valeur de a.

             d.   Pour n grand donc, à  long terme, la probabilité que le joueur fasse

                    une partie de type A est 0,6 et donc celle  qu’il fasse une partie de type B est 0,4.

                    Le joueur verra plus souvent la publicité insérée  dans les jeux de type A

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