SUITES ADJACENTES TS 10 mars 2011
1 . SUITES ADJACENTES
Soit deux suites numériques ( un ) et ( vn ) définies sur IN;
On dit qu'elles sont adjacentes quand les deux conditions suivantes sont réalisées:
• La suite ( un ) est croissante sur IN et la suite ( vn ) est décroissante sur IN.
• lim ( vn - un ) = 0
n → + ∞
Remarque : "On peut penser à un escalier avec deux personnes.
L'une descend l'escalier à partir du haut.
L'autre monte l'escalier à partir du bas.
L'écart entre les deux personne tend à devenir nul.
Alors les deux personnes vont se rencontrer pour se serrer la main."
2. Exemple:
Soit un = 1 - 1 / n
vn = 1 + 1 / n2 pour tout n dans IN*
Etablir que les deux suites sont adjacentes.
Réponse.
• La fonction rationnelle f : x → 1 - 1/ x est définie et dérivable dans IR*
f ' : x → 1/ x2
La restriction de f à IN* est donc croissante.
La suite ( un ) est croissante sur IN*.
• La fonction rationnelle g: x → 1 + 1/ x2 est définie et dérivable dans IR*.
g ' : x → - 2 / x3
g ' < 0 sur IR*
La restriction de g à IN * est donc décroissante.
La suite ( vn ) est décroissante sur IN*.
• vn - un = 1 + 1 / n2 - ( 1 - 1/ n ) = 1 / n2 + 1 / n
On a : lim ( 1 / n2 + 1 / n ) 0
n → + ∞
c-à-d
lim ( vn - un ) = 0
n → + ∞
Conclusion : Les deux suites sont adjacentes
14. PROPRIETE
Soit deux suites numériques ( un ) et ( vn ) adjacentes définies sur IN.
Si c'est la suite ( un ) qui est croissante sur IN et la suite ( vn ) qui est décroissante sur IN.
Alors :
un ≤ vn pour tout n dans IN.
Elles ont la même limite finie.
Explication:
• La suite ( vn - un ) est décroissante sur IN .
En effet:
( vn+1 - un+1 ) - ( vn - un ) = ( vn+1 - vn ) - ( un+1 - un )
Mais vn+1 - vn ≤ 0
un+1 - un ≥ 0 Donc - ( un+1 - un ) ≤ 0
Ainsi ( vn+1 - un+1 ) - ( vn - un ) ≤ 0 pour tout n dans IN.
Donc la suite ( vn - un ) est bien décroissante sur IN .
• La suite ( vn - un )est à termes positifs sur IN.
En effet on a lim ( vn - un ) = 0
n → + ∞
De plus la suite ( vn - un ) est décroissante on peut dire
que ses termes sont positifs.
c'est-à-dire vn - un ≥ 0 pour tout n dans IN.
c-à-d un ≤ vn pour tout n dans IN.
• Les deux suites ( un ) et ( vn ) convergent vers le même réel.
En effet :
On a : u0 ≤ un ≤ vn ≤ v 0
Ainsi la suite ( un ) est croissante et est majorée par v0 .
Donc la suite ( un ) converge vers un réel L.
De même la suite ( vn ) est décroissante et minorée par u0 .
Donc la suite ( vn ) converge vers un réel L'.
Montrons à présent que L = L '.
On sait que : lim ( vn - un ) = 0
n → + ∞
et lim ( vn - un ) = L ' - L
n → + ∞
D'où L ' - L = 0 c-a-d L = L '
Conclusion : Les deux suites ( un ) et ( vn ) convergent vers le même réel.
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