INFO 3 DEVOIR MAISON JUIN 2012

                              INFO 3  DEVOIR MAISON   TS    JUIN 2012

                              GEOMETRIE DANS L'ESPACE

         EXERCICE C 

                On considère les points A( 3 ; 0 ; 1)  , B( 0 ; - 1 ; 2 ) ,

                C( 1 ; - 1 ; 0 ) et D( 1 ; 1 ; - 2 ).

                        fig2-c-ts.jpg

         1.a. Démontrer que les vecteurs vect(AC) et vect(BC) orthogonaux.

                    fig1-c-ts.jpg

                Pour cela montrons que :  vect(AC) . vect(BC ) = 0

                 On a :

                ( - 2 ; - 1 ; -1 )  les coordonnées de vect(AC)

                ( 1 ; 0 ; - 2 )    les coordonnées de vect(BC)

              vect(AC) . vect(BC) = - 2 × 1  +( - 1) × 0  + (- 1 )× (- 2) = 0

             Conclusion : OUI . Les vecteurs vect(AC) et vect(BC) orthogonaux .

             b. En déduire la nature du triangle ABC.

                   Les côtés [ AC ] et [BC ] sont orthogonaux. 

                   Donc :

                    Conclusion :  Le triangle ABC est rectangle en C

         c. Calculer l'aire de ce triangle.

                   Aire(ABC) = (  1 /2 ) AC  × BC

                    Or

                    AC = √( (- 2 )2 + ( - 1)2  + ( - 1 )2 ) = √6

                    BC = √( 12 +  02  + ( - 2 )2 ) =  √5

                  Aire(ABC) =  (  1 /2 ) √6  √5 = √30  / 2

               Conclusion :    Aire(ABC) = √30  / 2

          2. a. Vérifier que le vecteur vect(u ) ( 2 ; - 5 ; 1)  est un

                   vecteur normal au plan (ABC).

                  Les vecteurs  vect(AC ) et vect(BC ) sont deux vecteurs directeurs

                   du plan (ABC).

                   Il suffit donc de vérifier que le vecteur vect( u ) est orthogonal

                   aux vecteurs vectAC) et vect(BC).

                    On a :       vect(AC) . vect(u ) = 0           car     2 ×( - 2 ) - 5 ×( - 1 )  + 1 × ( -1 ) = 0

                                   vect( BC) . vect(u ) = 0           car      2 × 1 - 5  × 0  +  1 × ( - 2 )   = 0

                     Le vecteur vect( u ) est bien non nul et orthogonal aux vecteurs vect(AC) et vect(BC ).

                       Conclusion : Le vecteur vect( u ) est un vecteur normal au plan (ABC)

                b. En déduire une équation du plan (ABC).

                     Elle est de la forme  2 x - 5 y + z + d = 0  

                     Les coordonnées du point A la vérifie.    

                   Donc       2 × 3 - 5 × 0 + 1 + d = 0 

                    c-à-d    d = - 7

                   Conclusion :    Le plan (ABC )  a pour équation  2 x - 5 y + z - 7 = 0

                   c. Déterminer la distance de D au plan ( ABC ).

                   On a :    d( D , ( ABC) ) = I  2 × 1 - 5 × 1 + 1 ×( - 2 ) - 7  I / √( 22 + ( - 5 )2 + 12 )

                  Conclusion:  d( D , (ABC ) ) = 12 / √30

       3. En utilisant les questions 1./ et 2. , déterminer le volume du tétraèdre

           ABCD.

                 On a :   V = ( 1 / 3 ) × d( D , (ABC) ) × aire (ABC)

                  c-à-d      V = ( 1 / 3 ) × ( 12 / √30 ) × ( √30  / 2 ) = 2

                  Conclusion : V = 2

        4. a. Déterminer un vecteur vect(n) non nul tel que:

                  vect(n).vect( BC ) = 0   et   vect(n ).vect(CD)  = 0

                 Soit le vecteur vect(n ) de coordonnées ( a ; b ; c ).

                   Imposons : 

                                  ( a ; b ; c ) ≠ ( 0 ; 0 ; 0 )

                                   1 × a + 0 × b  - 2  c = 0 

                                   0 × a + 2  b - 2  c = 0   

                      c-à-d

                                   ( a ; b ; c ) ≠ ( 0 ; 0 ; 0 )

                                   a = 2 c 

                                   b = c

                                    Prenons :  c = 1  

                                   b = 1     et    a = 2  

                 Conclusion :   vect( n ) de coordonnées ( 2 ; 1 ; 1 ) convient.

            b. En déduire une équation du plan (BCD).

                 Elle est de la forme : 2 x + y + z + d = 0

                  Les coordonnées ( 0 ; - 1 ; 2 ) de B la vérifient.

                   Donc :                    - 1 + 2 + d = 0   

                   c-à-d                       d = - 1                                                                                                                            

                  Conclusion :     On a le plan ( BCD) d'équation           2 x + y + z - 1 = 0

            c. Déterminer la distance de A au plan (BCD ).

                On a :                                                                     

                d( A , ( BCD ) ) = |   2 × 3 + 0 + 1 - 1 | / √( 2² + 1² + 1² )  

               Conclusion :      d( A , ( BCD ) )  √6

        5. Exprimer le volume du tétraèdre ABCD en fonction de l'aire du triangle

             BCD.

              Conclusion :   V = ( 1 / 3 )  × √6 × aire(BCD)

        6. Déterminer l'aire du triangle BCD.

           On a vu :   V = 2

          Mais  on a aussi :    V = ( 1 / 3 )  × √6 × aire( BCD )

          D'où l'égalité  :    2 =  ( 1 / 3 ) × √6  × aire(BCD)

          c-à-d        2 × 3 = √6  × aire(BCD)

          c-à-d    6 =  √6  × aire(BCD)

           Conclusion :   aire(BCD) = √6