INFO 4 TEST PROBA 11 mars 2011

                      INFO  TEST SUR LES PROBABILITES                  11 mars 2011

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   EXERCICE 4.

             On met dans une urne 100 billets dont 75 billets comportent la mention "reçu" et 25 billets

            comportent la mention "refusé".

          1. On tire au hasard un billet . Quelle est la probabilité notée p d'avoir un billet " reçu"?

          2. A présent on tire successivement avec remise 24 fois un billet de l'urne.

             Soit A l'événement :  On a obtenu d'abord 17 billets " reçu", puis 7 billets " refusé ".

             Soit B l'événement : On a obtenu 17 billets " reçu" et 7 billets " refusé " dans n'importe

             quel ordre.

            a. Donner Card( A ). Donner P( A ).

            b. Donner Card( B ). Trouver P( B).

            c. Soit X l'application qui à chaque tirage de 24 billets associe le nombre

              de billets "reçu ". Que vaut P( X = 17 ) ?

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      Réponse:

         1 . On est dans une situation d'équiprobabilité.

               L'univers des possible est l'ensemble des  100 billets.

             75 billet sont marqués " reçu ".

            Donc  

            Conclusion:   p = 75 / 100

       2.  a.   L'événement A correspond à une 24 liste d'éléments de l'ensemble

                 { " reçu " , " refusé " }  où  " reçu " se trouve au 17 premières places

                     et "refusé " se trouve aux 7 places suivantes.

                    Schéma :         |  75  |  75  |  .... |  75 | 25 |  25 | ......  |  25  |

                    Ainsi on a :  Card( A ) = 7517   ×  257

                  Card(  Ω )  =  10024        Chaque issue correspond en effet

                  à une 24 liste des éléments d'un ensemble de 100 billets.

                 Comme on est dans une situation d'équiprobabilité:

                P( A ) =  Card ( A ) / Card(  Ω )

                  Donc ici:

                Conclusion :  P( A ) = (  7517   × 257  ) /   10024   

              b.   Il y a   C 24 17      façons de réserver 17 places parmi 24 places pour les " reçu" .

                      Card( B ) =  C 24 17    7517   × 257

                    Comme  P( B ) = Card( B ) / Card(  Ω)

                   On a:

                     Conclusion:   P( B ) = (   C 24 17    7517   × 257    ) /    10024 

              c .  P( X = 17 ) = P( B )

                    En effet , avoir d'abord 17 fois "reçu" puis après 7 fois " refusé " correspond

                    à l'événement B.