TEST SUITES TS OCT 2013

      Nom:       .......            Prénom:                         Date :  Oct 2013                    Classe: TS

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   *Soit la suite ( u ) définie par u0 = 6  et   un + 1 = √(2 + u)           pour tout n dans IN.

      1.Montrer que la suite ( u ) est minorée par 2 sur IN.

           Montrons le par récurrence sur IN.

               • n = 0

                On a :  u0 = 6    et  2 ≤ 6

                  Donc     2 ≤ un    pour n = 0.

              • Soit n dans IN quelconque.

                Montrons que si     2 ≤ un       alors     2 ≤ un + 1   

                 Considérons :           2 ≤ un   

                  Alors                              2 + 2  ≤ 2 + un 

                Mais la fonction √ est croissante sur  l'intervalle [ 0 , + ∞ [

               Donc       √ 4 ≤ √( 2 + un )  

                     c-à-d       2 ≤ un + 1    

                    On a obtenu l'égalité à l'ordre n + 1

              Conclusion : On a bien montré que la suite ( u ) est minorée par 2 sur IN.

         2. Montrer que la suite ( u ) est décroissante sur IN.

            Pour cela montrons par récurrence que  un + 1 ≤ un    pour tout n dans IN.

              • n = 0 

               On a :      u0 = 6    et  u1 = √( 2 + 6 ) = √8 = 2 √2 

              Ainsi              u1 ≈ 2,8

              Comme     2,8 ≤ 6  on a bien   un + 1 ≤ un     pour n = 0

             • Soit n dans IN quelconque.

                 Montrons que si   un + 1 ≤ un    alors   un + 2  ≤ un + 1   

             Considérons :    un + 1 ≤ un   

             Alors           2  +  un + 1 ≤ 2 + un      

            On sait aussi que    2  ≤ un + 1   

            Donc      0 ≤  2 + un + 1  ≤  2 + un  

             Comme la fonction √   est croissante sur[ 0 , + ∞ [ 

            on a:

                       √ ( 2 + un + 1 )   ≤  √( 2 + un )

               c-à-d           un + 2  ≤   u n + 1     

             On a l'inégalité à l'ordre n + 1.

             Conclusion :   La suite ( u ) est bien décroissante sur IN.

          3. La suite ( u ) converge-t-elle ?

               La suite (u ) est décroissante et minorée sur IN.

              Donc , d"après un résultat de cours:

                Conclusion : La suite ( u ) converge.

                 En outre sa limite est supérieure ou égale à  2

           4. Soit L un réel tel que  L ≥ 2  et  L = √( L + 2 )

                 Trouver L.

                     L = √( L + 2 )   avec    L ≥ 2

                     se traduit par :

                      L2 = L + 2   et L ≥ 2

                      c-à-d

                       L2 - L - 2 = 0     et  L ≥ 2

                      Résolvons l'équation avec la condition.

                     - 1 est une racine évidente de    L2 - L - 2 = 0  car  1 + 1 - 2 = 0

                    mais - 1 ne convient pas  à cause de la condition.

                     Le produit des racines est:     c / a.

                    Ainsi  l'autre racine est:

                      - c / a = - ( - 2 ) / 1  = 2  

                     Elle convient car  2 ≥ 2

                Conclusion :   L = 2  

          5 .Pour n très grand que peut-on dire de la suite ?

                      On peut dire:

                     Conclusion: L a suite ( u ) converge vers 2  

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