INFO LISTE 1 D'EX. PRIMITIVES

                         INFO    LISTE D'EXERCICES SUR LE  CALCUL INTEGRAL    Avril 2012

          EXERCICE 1.

           1. Donner une primitive de la fonction polynôme  f : x → 3 x- 5 x + 2

           2. Donner LA primitive de f qui s'annule en x = 1

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          Réponse:

         1.   f est une fonction définie et continue dans IR.

          f admet donc des primitives sur IR, qui sont égales à une constante près.

          Soit       F : x → 3 ( 1 / ( 2 + 1 ) )x2+1 - 5 ( 1 / 2 ) x2 + 2 x + C       avec C dans IR

                c-à-d    F : x → x - ( 5 / 2 ) x2   + 2 x + C

              F est une fonction définie et dérivable dans IR telle que F ' = f

              Conclusion :

                   Une primitive de f sur IR est de la forme

                 F : x → x - ( 5 / 2 ) x2   + 2 x + C   , où C est dans IR,       

          2. Imposons F(1 ) = 0 pour fixer la valeur de C.

              Considérons donc :

                        1  - ( 5 / 2 ) + 2 + C = 0 

               c-à-d     3 - 2,5 + C = 0

                c-à-d       C = - 0 , 5           

             Conclusion :

                   La fonction F : x → x - ( 5 / 2 ) x2   + 2 x - 0,5

                  est  LA  primitive de f sur IR qui s'annule en x= 1 . 

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         EXERCICE 2

                Donner une primitive de la fonction   f : x →( 2 x - 5 ) ex² - 5 x

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    Réponse :      

                 Soit la fonction u : x  → x- 5 x

                 u est une fonction définie et dérivable dans IR 

                 et l'on a    u ' :  : x  → 2 x - 5

                  Ainsi:

                        f = u ' eu    avec u une fonction définie et dérivable dans IR.

                  ( Rappel : ( eu   ) '  = u' eu    )

                 Donc f admet des primitives dans IR de la forme 

                         F = eu   +C    où   C est un réel quelconque.

               Conclusion:

                   Une primitive de f sur IR est de la forme:

                     F : x  →  ex² - 5 x    + C    où   C est un réel quelconque.

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       EXERCICE 3

           Donner une primitive de la fonction  f : x → x / ( x 2  + 1 )   sur IR.

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         Réponse : 

           Soit la fonction u : x →  x  + 1 

           u est une fonction polynôme définie, dérivable et

             strictement positive dans IR.

         Sa fonction dérivée est :           u ' : x→  2 x 

         On a :    f  : x→ ( 1 / 2 ) × 2 x / ( x  + 1 )

         Donc            f = ( 1 / 2 )( u ' / u )

             ( Rappel :   ( lnou )'  = u ' / u   )

         Ainsi f admet des primitives sur IR et leur forme générale 

          est:                F = ( 1 / 2 ) × lnou

         Conclusion :

            Une primitive de f sur IR est de la forme 

              F : x  →  0,5 ln( x2 + 1)   + C    où C est un réel quelconque

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          EXERCICE 4

                  Donner une primitive de la fonction   f : x → 2 x ( x+ 1 )

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    Réponse :       

             Soit la fonction u : x →  x  + 1  

           u est une fonction polynôme définie, dérivable  dans IR.

          Sa fonction dérivée est :   u' : x → 2 x  

          On a :   f = u' u

          ( Rappel :   ( u2  )' = 2 u u'      )         

           Ainsi f admet des primitives sur IR et leur forme générale 

            est:         F = ( 1 / 2 ) u2  + C     où C est un réel quelconque

           Conclusion :                    

                Une primitive de f sur IR est de la forme 

                F : x  →  0,5 ( x2 + 1)2   + C    où C est un réel quelconque

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              EXERCICE 5 

             1.  Donner une primitive de la fonction   f : x → ( 2 x + 1 ) ( x+ x + 1 )2     sur IR 

             2.  Donner une primitive de la fonction   f : x →  x / ( x+ 1 )2      sur IR 

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      Réponse: 

              1. Soit la fonction u : x →  x+ x + 1

                      La fonction polynôme u est définie et dérivable dans IR

                      Sa fonction dérivée est  u ' : → 2 x + 1

                         On a:     f = u' un        avec  n = 2  

                         Donc n ≥ 1   

                            ( Rappel :    (  [ 1 / ( n+1 )] un + 1   )'   = u ' un              n ≥ 1 )           

                Ainsi f admet des primitives sur IR et leur forme générale est:

                         F = ( 1 / ( n + 1 )  ) un + 1  + C              où C est un réel quelconque.

              c-à-d          F = ( 1 / ( 2 + 1 )  ) u2 + 1  + C        où C est un réel quelconque.

              c-à-d          F = ( 1 / 3  ) u3  + C                    où C est un réel quelconque. 

               c-à-d       F : x  → ( 1 / 3 ) ( x2 + x + 1 )3 + C        où C est un réel quelconque. 

            .Conclusion:

                             Une primitive de f sur IR est de la forme 

                        F : x  → ( 1 / 3 ) ( x2 + x + 1 )3 + C        où C est un réel quelconque. 

            2.  Soit la fonction u : x →  x  + 1  

                  u est une fonction polynôme définie, dérivableet non nulle dans IR. 

                  Sa fonction dérivée est :   u' : x → 2 x  

                  On a :   f = ( 1 / 2 ) u' / un      avec  n = 2

                      On a : n ≥ 2    

                    ( Rappel : ( [ - 1 / (n - 1)] (  1 / un - 1  )  )'   = u ' / un         n ≥ 2      u non nulle     )    

                  Ainsi f admet des primitives sur IR et leur forme générale 

                      est:         F = ( 1 / 2 )  (- 1 / (n - 1) )(  1 / un - 1  )  + C     où C est un réel quelconque

                     c-à-d      F = ( 1 / 2 )  (- 1 / (2 - 1) )(  1 / u2 - 1  )  + C     où C est un réel quelconque

                   c-à-d        F = - 0,5 (  1 /  u )    + C                                où C est un réel quelconque

                  c-à-d        F : x → - 0,5  / ( x2 + 1 )   + C                           où C est un réel quelconque

                 Conclusion :                         

                      Une primitive de f sur IR est de la forme 

                        F : x   - 0,5  / ( x2 + 1 )   + C     où C est un réel quelconque

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