INFO LISTE D'EXERCICES SUR LE CALCUL INTEGRAL Avril 2012
EXERCICE 1.
1. Donner une primitive de la fonction polynôme f : x → 3 x2 - 5 x + 2
2. Donner LA primitive de f qui s'annule en x = 1
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Réponse:
1. f est une fonction définie et continue dans IR.
f admet donc des primitives sur IR, qui sont égales à une constante près.
Soit F : x → 3 ( 1 / ( 2 + 1 ) )x2+1 - 5 ( 1 / 2 ) x2 + 2 x + C avec C dans IR
c-à-d F : x → x3 - ( 5 / 2 ) x2 + 2 x + C
F est une fonction définie et dérivable dans IR telle que F ' = f
Conclusion :
Une primitive de f sur IR est de la forme
F : x → x3 - ( 5 / 2 ) x2 + 2 x + C , où C est dans IR,
2. Imposons F(1 ) = 0 pour fixer la valeur de C.
Considérons donc :
1 - ( 5 / 2 ) + 2 + C = 0
c-à-d 3 - 2,5 + C = 0
c-à-d C = - 0 , 5
Conclusion :
La fonction F : x → x3 - ( 5 / 2 ) x2 + 2 x - 0,5
est LA primitive de f sur IR qui s'annule en x= 1 .
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EXERCICE 2
Donner une primitive de la fonction f : x →( 2 x - 5 ) ex² - 5 x
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Réponse :
Soit la fonction u : x → x2 - 5 x
u est une fonction définie et dérivable dans IR
et l'on a u ' : : x → 2 x - 5
Ainsi:
f = u ' eu avec u une fonction définie et dérivable dans IR.
( Rappel : ( eu ) ' = u' eu )
Donc f admet des primitives dans IR de la forme
F = eu +C où C est un réel quelconque.
Conclusion:
Une primitive de f sur IR est de la forme:
F : x → ex² - 5 x + C où C est un réel quelconque.
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EXERCICE 3
Donner une primitive de la fonction f : x → x / ( x 2 + 1 ) sur IR.
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Réponse :
Soit la fonction u : x → x 2 + 1
u est une fonction polynôme définie, dérivable et
strictement positive dans IR.
Sa fonction dérivée est : u ' : x→ 2 x
On a : f : x→ ( 1 / 2 ) × 2 x / ( x 2 + 1 )
Donc f = ( 1 / 2 )( u ' / u )
( Rappel : ( lnou )' = u ' / u )
Ainsi f admet des primitives sur IR et leur forme générale
est: F = ( 1 / 2 ) × lnou
Conclusion :
Une primitive de f sur IR est de la forme
F : x → 0,5 ln( x2 + 1) + C où C est un réel quelconque
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EXERCICE 4
Donner une primitive de la fonction f : x → 2 x ( x2 + 1 )
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Réponse :
Soit la fonction u : x → x 2 + 1
u est une fonction polynôme définie, dérivable dans IR.
Sa fonction dérivée est : u' : x → 2 x
On a : f = u' u
( Rappel : ( u2 )' = 2 u u' )
Ainsi f admet des primitives sur IR et leur forme générale
est: F = ( 1 / 2 ) u2 + C où C est un réel quelconque
Conclusion :
Une primitive de f sur IR est de la forme
F : x → 0,5 ( x2 + 1)2 + C où C est un réel quelconque
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EXERCICE 5
1. Donner une primitive de la fonction f : x → ( 2 x + 1 ) ( x2 + x + 1 )2 sur IR
2. Donner une primitive de la fonction f : x → x / ( x2 + 1 )2 sur IR
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Réponse:
1. Soit la fonction u : x → x2 + x + 1
La fonction polynôme u est définie et dérivable dans IR
Sa fonction dérivée est u ' : x → 2 x + 1
On a: f = u' un avec n = 2
Donc n ≥ 1
( Rappel : ( [ 1 / ( n+1 )] un + 1 )' = u ' un n ≥ 1 )
Ainsi f admet des primitives sur IR et leur forme générale est:
F = ( 1 / ( n + 1 ) ) un + 1 + C où C est un réel quelconque.
c-à-d F = ( 1 / ( 2 + 1 ) ) u2 + 1 + C où C est un réel quelconque.
c-à-d F = ( 1 / 3 ) u3 + C où C est un réel quelconque.
c-à-d F : x → ( 1 / 3 ) ( x2 + x + 1 )3 + C où C est un réel quelconque.
.Conclusion: