INFO TEST 20/11/09

                 NOM : .......  X  .......        Prénom: .....              Date: 20 nov 09              Classe : BTS1A

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    Soit les matrices :        

 • Calculer A².

 /   3 - 1 - 1 \
A²  = | - 1  3 - 1  |
 \ - 1 - 1   3 /

  • Montrer que A² = A + 2  I     ( où I est la matrice unité .  )   

    On a :                                

 /   3 - 1 - 1 \
A+ 2 I  = | - 1  3 - 1  |
 \ - 1 - 1   3 /

     Donc  

          Conclusion :  A²  = A + 2 I                                         

  •Trouver une matrice carrée M du type ( 3 , 3 ) telle que AM = I.

   ( On utilisera l'égalité   A²  - A = A ( A - I )    )

      On  a:        A²  = A + 2 I     

    En transposant A   il vient :    

                  A² - A =    2 I 

      Mais  en factorisant A  il vient  aussi  :  A² - A =   A ( A - I )   

      Les deux seconds membres sont égaux.

             Ainsi      A ( A - I ) =  2 I 

                  En divisant par 2 chaque membre il vient:

                        A ( 1 / 2 ) ( A - I ) = I

            Donc la matrice M cherchée est:

                      M   = ( 1 / 2 ) ( A - I )

           Conclusion:    On a :

 /    0 - 1 / 2   - 1 /2 \
 M  = (1 / 2 ) (A - I )  = | - 1/2     0    - 1/2  |
 \ - 1/2   - 1/2      0 /

 

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     •  Résoudre dans IR3   le système :

        

        Le système s'écrit :

                       

        Considérons :       

 

            Alors   L3  donne     z = 6 / 3

                             c-à-d       z = 2

            Puis   L2   donne   7 z - 2 = 4 y

                             donc    14 - 2  = 4 y

                             c-à-d     12 / 4 = y

                             c-à-d         3  =  y 

          Enfin    L1   donne  x = - y + 2 z + 1

                            Donc    x = - 3 + 4 + 1 =  2

                             c-à-d       x  =  2 

               Conclusion :  SIR3  ={ (  2 , 3 , 2 ) }           

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