INFO 1 ACTIVITE SUITE COMPLEXE

                               INFO   ACTIVITE SUITE COMPLEXE              MATHS  EXPERT       février  2022 

     Soit la suite récurrente complexe ( Zn ) définie sur IN par :       ( pour les autres questions voir l'INFO 2 ) 

                      Z0 = 0

                      Zn+1 = i Zn – 4         pour tout n dans IN

      Soient deux suites réelles ( an ) et ( bn ) telles que

                  Zn = an + i bn       pour tout n dans IN

          1. Exprimer Zn+1 en fonction de an et bn.

             On a :     Zn+1 = i Zn – 4 = i ( an + i bn ) – 4 = i an – bn – 4  pour tout n dans IN

            Conclusion :     Zn+1 = – bn – 4 + i an  pour tout n dans IN

         2.Ecrire Zn+1 en fonction de an+1 et bn+1.

              Conclusion :     Zn = an+1 + i bn+1       pour tout n dans IN

         3. En déduire an+1 et bn+1 en fonction de an et bn.

          On a :  Zn+1 = – bn – 4 + i an   = an+1 + i bn+1       pour tout n dans IN   

           Donc, par identification des parties réelles et des parties imaginaires on a :

           Conclusion :      an+1 = – bn – 4    et  bn+1  = an          pour tout n dans IN   

          4. Soit le nombre complexe particulier W = – 2  – 2 i   .

             On considère la suite auxiliaire complexe ( Un ) définie sur IN par :

            Un = Zn  – W      pour tout n dans IN.

          • Indiquer  U0.

              U0 = Z0 – W = 0 –  (– 2  – 2 i ) = 2 + 2 i

                  Conclusion :  U0 = 2 + 2 i

         La suite ( Un ) est-elle géométrique ?  arithmétique ?

          On a :   Un+1 = Zn+1  – W =  i Zn – 4  –  ( – 2  – 2 i )=  i Zn – 2+ 2 i

           Or              Zn = Un + W = Un – 2  – 2 i

           Donc :   Un+1  =  i ( Un – 2  – 2 i   ) – 2 + 2 i = i Un – 2 i  + 2  – 2 + 2 i = i Un

          c-à-d                         Un+1 = i Un   pour tout n dans IN.

          Conclusion :

           La suite complexe ( Un ) est géométrique de raison i et de premier terme :  U0 = 2 + 2 i

          En déduire Un  en fonction de n.

            Conclusion :             Un = ( 2 + 2 i ) in    pour tout n dans IN

       5.Exprimer alors  Zn en fonction de n.

           On a :       Zn =  Un – 2  – 2 i = ( 2 + 2 i ) i n – 2  – 2 i 

            Conclusion: :       Zn =  ( 2 + 2 i ) in  – 2  – 2 i    pour tout n dans IN

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