INFO EX3 DV n° 10 TS1 21 mars 2015

           INFO EX 3  DV n° 10  TS1    21 mars 2015

       EXERCICE 3

          On considère la fonction f définie sur IR par :

           f ( x ) = ln ( 1 + e − 2 x )

           Le plan est muni d'un repère orthonormé d'unité 3 cm.

                               45jk 2

         1. Avec l'aide d'une calculatrice , calculer l'aire A de la partie

            du plan délimité par la courbe représentant f  , l'axe des abscisses , 

            et les droites d'équations x = 0 et x = 1.

            On exprimera A en cm2  avec deux décimales de précision.

      REPONSE:

        •  1 +  e − 2 x  > 1   pour tout réel x car la fonction exp > 0 sur IR.

         Donc   ln ( 1 + e − 2 x ) > 0  pour tout réel x .

                          f  ≥ 0    sur   IR 

        •La fonction  f: x →  1 + e − 2 x   est définie  et continue sur IR comme somme 

         de telles fonctions.

          On peut donc trouver l'aire A du domaine sous la courbe de f sur l'intervalle  [ 0 , 1]                       

          c'est ,en u . a, la valeur de l'intégrale:  

               25jk

           On obtient à la calculatrice     A ≈ 0,346    u. a

          Comme  1 u . a = 9 cm2

                A ≈ 3,11  cm2        

           2. En déduire la valeur de l'aire du domaine en bleu ci-dessous.

                      47jk 1

               REPONSE:

               Le domaine en bleu est d'aire celui du carré de côté 1 unité moins

               l'aire sous la courbe de f sur [ 0 , 1 ].

              Comme la figure est fournie on n'a pas besoin de rechercher des positions relatives.

              Le carré de côté de longueur une unité a pour aire 9 cm2 

              Donc l'aire du domaine bleu de la figure est :     9 − A    cm2

                  On obtient donc :     5,88       cm2              

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