TEST TES SPE 26/1/15

         TEST   SPE  MATHS     lundi 26 janvier 2015

            EXERCICE 

                 Dans un pays deux constructeurs  de voitures A et B se partagent le marché.

                 Au 1 janvier 2015 le fabriquant A dispose de 60 % du marché.

                 On note P l'état du marché le 1 janvier 2015.

                 On a constaté qu'un client de A reste fidèle à A dans 30 % des cas.

                 De plus un client de B change pour acheter un véhicule de A dans 50 % des cas.

                 On admet que chaque année les clients changent de véhicules.

                  On note:    Pn = ( an     bn  )       l'état du marché le     1 / 1 / 2015 + n 

                   où n est dans IN.

                 1. Faire un graphe probabiliste .                 

                 2. Donner la matrice probabiliste associée.                       

                 3. Trouver l'état du marché au bout d'un an.

                 4. Existe-t-il un état stable ?

                 5.  Déterminer l'état stable .                             

                 6. Interpréter le résultat.              

                 7. Montrer que:      an + 1  = − 0, 2 an + 0,5      pour tout n dan IN   

                 8. On pose u =     12 an   −  5           pour tout n dan IN .

                         a. Montrer que la suite ( un ) est géométrique.

                        b . Exprimer u en fonction de n puis an en fonction de n.

                        c. Trouver la limite de la suite ( an  ).

                             Que constatez-vous ?

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