2.COURS Résumé : suite TS sept 2012

              COURS Résumé : suites                   TS      septembre 2012

         - II- Premières propriétés

              1. Suite majorée , minorée , bornée. 

                             Même définition que pour une fonction majorée , minorée , bornée

                             car les suites sont des fonction.

                Soit ( un ) une suite numérique définie sur [[ n0 , + ∞ [   où n0 est un entier naturel fixé.

               Soit m et M deux nombres réels.

  La suite ( un )n ≥ n0     est minorée par m sur [[ n0 , + ∞ [           ssi      m ≤ un    pour tout n dans  [[ n0 , + ∞ [ . 

  La suite ( un )n ≥ n0     est majorée  par M sur [[ n0 , + ∞ [           ssi      un  ≤ M  pour tout n dans  [[ n0 , + ∞ [  .

  La suite ( un )n ≥ n0    est bornée par m et  M sur [[ n0 , + ∞ [      ssi      m ≤ un  ≤ M  pour tout n dans  [[ n0 , + ∞ [  .

           2. Exemple.

                    Soit la  suite ( un ) définie par  un   =  ( n - 1 ) / ( n + 1 )   pour tout n dans IN.

                      Est-elle minorée ? majorée ? bornée ?

            Démonstration:

                                  C'est à nous de chercher s'il y a lieu un minorant , un majorant car l'énoncé

                                  ne demande pas une vérification.

                               •Soit n dans IN.   ( disjonction de cas )   

                                   # Pour n   ≥  1    on a      n - 1  ≥  0    et    n + 1 > 0 

                                                 Donc   ( n - 1 ) / ( n + 1 ) ≥  0  

                                   # Pour n = 0          ( n - 1 ) / ( n + 1 ) = -1

                                        Ainsi      ( n - 1 ) / ( n + 1 )  ≥ - 1  pour tout  n dans IN .

                                           La suite est minorée par - 1  sur IN.                                                             

                               •  On peut changer l'écriture de un   pour y voir plus clair.

                                   Soit n dans IN.

                                    On a :                  

                                    ( n - 1 ) / ( n + 1 ) =    ( n+ 1 -  2 ) /  ( n + 1 )  = 1 -   2 / ( n + 1)  

                                     Mais   - 2 / ( n + 1 ) < 0

                                     Donc              1 -   2 / ( n + 1) < 1

                                            ( n - 1 ) / ( n + 1 ) < 1    pour tout n dans IN

                                   La suite est majorée par 1  sur IN.

                                   Conclusion:   La suite est bornée par - 1 et 1 sur IN