INFO LISTE 2 D'EX DERIV. COMPOSEES

  INFO LISTE 2    D'EXERCICES      DERIVATION DE LA COMPOSEE DE FONCTIONS        Nov 2011   TS2

          EXERCICE 1

            Soit la fonction    f : x → ( 2 x3 + 3 x + 4 )7  

            Donner    Df ,    Dd   et    f ' .

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         Réponse:

                                      courbe135.jpg

            Soit la fonction polynôme u : x →  2 x3 + 3 x + 4 .

              On a :       f = u7  

            Nous avons :

          •    u  est définie et dérivable dans IR.

          •  L'exposant de u  est un entier 7 tel que 7 ≥ 2.

           Donc, d'après un résultat de cours,  la fonction  u7  

           c'est-à-dire  la fonction  f est définie et dérivable dans IR.

          De plus   f ' = (  u7  ) '   = 7 u6   u ' 

          On a ici :    u ' : x →  6 x2 + 3

         Ainsi :    f ' : x →  7 (  2 x3 + 3 x + 4)6   (  6 x2 + 3 )     sur IR.

         Conclusion :   Df = IR       Dd   = IR     f ' : x → 7 ( 2 x3 + 3 x + 4 )6  (   6 x2 +  3 )  

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         EXERCICE 2        

           Soit la fonction       f : x → √(  x2 - 5 x + 1 )

            Donner    Df ,    Dd   et    f ' .

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          Réponse:         

                             courbe134-1.gif               

          • Recherchons  le domaine de définition de f.

           Considérons le trinôme du second degré x2 - 5 x + 1 .

                       Δ =  b2 - 4 a c

     c-à-d           Δ = ( - 5 )2  - 4 ×1 ×1 

     c-à-d          Δ =  25 - 4 = 21 

                     Δ > 0

             Les racines sont :

               ( - b - √Δ ) / ( 2 a ) = ( 5 - √ 21  ) / 2

               ( - b -+√Δ ) / ( 2 a ) = ( 5 + √ 21 ) / 2

           a = 1  donc    a > 0

        D'après la règle des signes d'un trinôme du second degré :

             x2 - 5 x + 1 > 0     ssi   x < ( 5 - √ 21  ) / 2  ou x > ( 5 + √ 21 ) / 2

             x2 - 5 x + 1 < 0      ssi   ( 5 - √ 21  ) / 2  < x <( 5 + √ 21 ) / 2

             x2 - 5 x + 1 = 0    ssi   x = ( 5 - √ 21  ) / 2   ou     x = ( 5 + √ 21 ) / 2

       Donc :   La fonction f est définie sur  

                     ] -∞  , ( 5 - √ 21  ) / 2 ] U  [ ( 5 + √ 21 ) / 2 , + ∞ [

            • Recherchons  le domaine de dérivabilité de f et f ' .

             Soit la fonction u : x →   x2 - 5 x + 1

            u est définie , dérivable et strictement positive sur

                         sur ] - ∞  , ( 5 - √ 21  ) / 2 [ U ] ( 5 + √ 21 ) / 2 , + ∞ [.

            On a :   f = √ u  

         Donc d'après un résultat de cours ona :

             f est définie et dérivable sur ] - ∞  , ( 5 - √ 21  ) / 2 [ U ] ( 5 + √ 21 ) / 2 , + ∞ [.

           De plus on a :    f ' = (  √ u   ) ' = u ' / ( 2  √ u   )

           Or    u ' : x →   2 x - 5

           Ainsi           f ' : x →  ( 2 x - 5 ) / ( 2  √ (  x2 - 5 x + 1 ) )

            Conclusion:    Df  = ] - ∞  , ( 5 - √ 21  ) / 2 ] U [ ( 5 + √ 21 ) / 2 , + ∞ [. 

                                Dd   = ] - ∞  , ( 5 - √ 21  ) / 2 [ U ] ( 5 + √ 21 ) / 2 , + ∞ [.                  

                           f ' : x →  ( 2 x - 5 ) / ( 2 √ (  x2 - 5 x + 1 ) )

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         EXERCICE 3

           Soit la fonction   f   : x →   1 / ( x2  + 1 )3   

          Trouver        Df ,    Dd   et    f ' .

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          Réponse:  

                        courbe136.jpg

               On peut écrire   f   : x → ( x2  + 1 ) - 3  

          Soit la fonction polynôme u : →  x2  + 1 .

         u est définie dérivable et non nulle sur IR.

         - 3  est un entier relatif tel que - 3 ≤ - 1

         Donc d'après un résultat de cours

              la fonction u - 3    , c-à-d  f  est définie et dérivable sur IR.

           De plus  ( u - 3 ) '   = - 3 u - 4  

          On ici      u ' : x → 2 x 

           Donc     f ' = (  u - 3  ) ' = - 3 u - 4 

          Ainsi       f '  : x →  - 3 (   x2  + 1 )- 4   2x

           c-à-d    f '  : x →  - 6 x (   x2  + 1 ) - 4    

             Conclusion :      Df = IR        Dd = IR

                   f ' : x →  - 6 x   /  (   x2  + 1 ) 4    

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