INFO EX 78 DV maison TS2 05 /12/11

                   .          INFO DEVOIR MAISON             TS2           05/12/2011

               EXERCICE  78 PAGE 61

              Soit la fonction    f : x  → √ ( x  + 1 ) - √ x

              Soit ( C_f    ) sa courbe dans un repère orthonormal.

              a. Démontrer sans calcul que f est positive sur [ 0 , + ∞ [.

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           Réponse: 

             L'idée est que √ ( x  + 1 ) est plus grand que √ x  quand  x ≥ 0.

             Soit  x dans IR⁺   

                  On a :                                          x + 1 > x  ≥ 0

              Or la fonction     x   →   √ x     est strictement croissante sur IR⁺

              Donc                                  √ ( x  + 1 ) >  √ x

             c-à- d                                   √ ( x  + 1 ) -   √ x  > 0

            Conclusion :          f( x ) > 0  pour tout réel x dans [ 0 , + ∞ [         

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     b .  Démontrer que f  est dérivable  sur ] 0 , + ∞ [   et

             montrer que f ' a le même signe que - f . 

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          Réponse:

          • f  est dérivable  sur ] 0 , + ∞ [ .

              En effet:

            Comme les fonctions affines   u : x   →   x    et   w : x   →   x + 1 

             sont définies , dérivables et strictement positives 

             sur  l'intervalle ] 0 , + ∞ [  alors les fonctions 

                     √ o u : x   →   √ x   et   √ o w : x   →  √ ( x +1 )

               sont définies et dérivables sur l'intervalle ] 0 , + ∞ [ .

               Mais    f =   √ o w  - √ o u

               Ainsi

     Conclusion:  f est aussi définie et dérivable sur l'intervalle ] 0 , + ∞ [.

           • f ' est du signe de - f sur ] 0 , + ∞ [ .

                En effet :

                 f ' = w ' /(  2 √ o w )    -  u ' /(  2 √ o u )

                 avec     u ' : x   →  1  et   w ' : x   →  1

                Donc   f ' =  1 /(  2 √ o w )    -  1 /(  2 √ o u )

                 c-à-d       en factorisant 1 / 2

                             f '  = ( 1 / 2 )  [  1 / √ o w     -  1 / √ o u  ]

                   c-à-d          en réduisant au même dénominateur

                      f ' = ( 1 / 2 )  ( √ o u  - √ o w  ) /  ( √ o u   × √ o w  )

          c-à-d    f ' =   f ' = ( 1 / 2 ) [ - ( √ o w  - √ o u  )] /  ( √ o u   × √ o w  )

           c-à-d    f ' =   f ' = ( 1 / 2 ) (  -  f   ) /  ( √ o u   × √ o w  )

          Comme 1/ 2 > 0    et      √ o u   × √ o w > 0  sur ] 0 , + ∞ [

        Conclusion :     f ' est du signe de - f  sur ] 0 , + ∞ [

                 (  Nous avons raisonné au niveau des fonctions.

                   On peut raisonner au niveau des valeurs prises par ces fonctions  en 

                    utilisant x > 0  )

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    c. Déterminer  lim f( x )

                            x → + ∞

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    Réponse:   

          Soit x > 0

   Multiplions  et divisons par l'expression conjuguée de √ ( x  + 1 ) -  √ x .

   Il vient :

  √ ( x  + 1 ) -   √ x   =   ( √ ( x  + 1 ) -  √ x ) ( √ ( x  + 1 ) +  √ x  ) / ( √ ( x  + 1 ) +  √ x  )

     c-à-d       sachant  l'égalité remarquable  ( a - b ) ( a + b ) = a² - b²

   √ ( x  + 1 ) -   √ x   =  [ ( √ ( x  + 1 ) ) ²-  ( √ x ) )²   ] / ( √ ( x  + 1 ) + √ x  )

     c-à-d  

   √ ( x  + 1 ) -   √ x   = ( ( x  + 1 ) -   x ) / (√ ( x  + 1 ) +  √ x )

     c-à-d  

     f( x ) =    1  / (√ ( x  + 1 ) +  √ x )

    Or    √ ( x  + 1 ) +  √ x   > √ x

       et    lim √ x = + ∞

              x → + ∞

           Donc    lim (   √ ( x  + 1 ) +  √ x   ) = + ∞

                         x → + ∞

          Ainsi     lim   1 / (√ ( x  + 1 ) +  √ x )   = 0

                      x → + ∞

     c-à-d                

    Conclusion:  lim f( x ) = + ∞

                       x → + ∞

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     d. Déterminer  lim ( f(x ) - 1 ) / x     . En déduire une interprétation pour C_f  .

                            x → 0⁺

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      Réponse :

      Soit x > 0         

        On a :

        ( f(x ) - 1 ) / x  =   (√ ( x  + 1 ) - √ x  - 1 ) / x

c-à-d  en multipliant et en divisant par (√ ( x  + 1 ) - √ x  + 1 )

       ( f(x ) - 1 ) / x  = (    (√ ( x  + 1 ) - √ x  )² - 1²   ) / x

c-à-d

     ( f(x ) - 1 ) / x  =  ( x+1 + x - 2 √ ( x  + 1 ) ×√ x - 1 ) / x

c-à-d

       ( f(x ) - 1 ) / x   = (   2 x - 2 √ ( x  + 1 ) ×√x ) x

c-à-d

       ( f(x ) - 1 ) / x   = 2 ( x - √ ( x  + 1 ) ×√x ) / x

 c-à-d 

       ( f(x ) - 1 ) / x   = 2 ( 1  - [√ ( x  + 1 ) ×√x  ] / x )

c-à-d      comme  x = (√x )²

     ( f(x ) - 1 ) / x   = 2 ( 1  - [√ ( x  + 1 ) ×√x  ] /  (√x )²  )

 c-à-d

          ( f(x ) - 1 ) / x   = 2 ( 1  - √ ( x  + 1 )  /  √x  )

  Passons à la limite :

       lim  √ ( x  + 1 )  /  √x      =  √ ( 0 + 1 )  / 0⁺   =  1 / 0⁺   = + ∞

      x   → 0⁺

  Donc

            lim 2 ( 1  - √ ( x  + 1 )  /  √x  ) = 2 × ( 1 - ( + ∞ ) ) = -  ∞

            x   → 0⁺ 

      Conclusion:       lim    ( f(x ) - 1 ) / x   = -  ∞

                                 x   → 0⁺

     Comme f( 0 ) =   √ ( 0 + 1 ) -  √ ( 0  )  = 1

         On a :

            lim    ( f(x ) - f( 0  ) / x   = -  ∞

           x   → 0⁺ 

         f n'admet pas de nombre dérivé en x = 0 à droite.

         Il n'y a donc pas de cœfficient directeur pour une telle

         tangente car - ∞  n'est pas un réel.

         On peut dire que :

         La courbe C_f de f admet au point d'abscisse 0 une demi tangente verticale.

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   e. Construire la courbe représentative de C_f  dans un repère 

         orthonormal d'unités graphiques 2 cm.

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   Réponse:

               Courbe de f :

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