EXERCICE 3 BAC S 2014 S

                        INFO  EXERCICE 3      BAC S   2014             Métropole    

     EXERCICE 3 

            1. Résolvons l'équation  Z2 + 4 Z + 16 = 0 dans l'ensemble des nombres complexes.

                   Δ ' = b' 2 - ac                 a = 1       b ' = 2       c = 16

                  c-à-d

                        Δ ' =  22 -1× 16 = 4 - 16 = - 12

               Ainsi:

                     Δ '   < 0

                Les deux solutions sont:

                         Fir18 1

            Mettons les sous la forme exponentielle.

                                   Fir22

            On a:

              Fir20

          2. Donnons la forme algébriqu de a2  .        

                     Fir23

             Donc :

              Fir24

           Déduisons dans l'ensemble des nombres complexes les solutions de:

                         z2  = - 2 + 2 i √3

                 c-à-d   

                              z2  = a2   

                c-à-d

                             z = a   ou z =  - a

            Fir26

        3. ROC.

            •Montrons que pour tout nombre complexe z1  et tout nombre complexes z2 :

                         Fir29   

            On a :

                Fir30

               Montrons par récurrence sur IN* que 

                   Fir31

 

                 • n = 1  

                  L'égalité est vraie car

                                Fir33     

                   • Soit n dans IN* quelconque.

                 Montrons que si l'égalité est vraie à l'ordre n alors elle est vraie à l'ordre n + 1.

                 Fir38 1

                    Conclusion: l'égalité est prouvée.

                   4 .Montrons pour tout nombre complexe z  l'équivalence :

                      Fir36

               Cela résulte du fait que l'équation est à coefficients réels.

                   En effet: 

                    Fir40

                 Le résultat est donc avéré.

              •  Déduisons la résolution de ( E ).

               ( E ) étant du quatrième degré elle admet au plus quatre solutions

              distinctes ou confondues dans l'ensemble de nombres complexes?

               ( E ) est une équation bicarrée

           Fir45

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