INFO. BTS1B DEVOIR SURVEILLE 2 MERCREDI 19 NOV. 2008 55 mn
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EX.1 1. Traduire sans " implique " la proposition suivante:
( On ne demande pas une traduction en français. )
2 x - 5 < 0 => 1 - x < 0 , où x est dans IR.
2. Résoudre dans IR , 2 x - 5 < 0 => 1 - x < 0.
REP. 1. L'implication donnée s'écrit :
NON( 2 x - 5 < 0 ) ou 1 - x < 0 , avec x dans IR.
c-à-d 2 x - 5 >= 0 ou 1 - x < 0 , avec x dans IR.
2. Résolution de cette implication dans IR.
ATTENTION: On NE demande PAS si l'implication
est vraie pour tout réel x.
Soit x dans IR .
On a : 2 x - 5>= 0 ou 1 - x < 0 .
c-à-d 2 x >= 5 ou 1 < x .
c-à-d x >= 5 / 2 ou x > 1 .
Conclusion: SIR = ] 1 , + ∞ [
EX. 2 1. a. Exprimer la proposition suivante à l'aide de quantificateurs.
<< Pour tout y dans IR il existe au moins un x dans IR tel que y = x² >>
b. Donner la négation de cette proposition.
2. Soit p , q deux propositions.
Les deux propositions suivantes sont-elles équivalentes ?
Non( q ) ou p ; Non ( p ) => Non ( q )
REP. 1. a. La traduction symbolique est: ∀
b. La négation est : ∃
2. OUI. Les propositions données dans l'énoncé sont bien équivalentes.
En effet: Non( q ) ou p
s'écrit p ou Non( q )
c-à-d Non( Non ( p ) ) ou q
c-à-d Non( p ) => q
Conclusion: On a bien l'équivalence
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EX.3 Résoudre dans IR l'inégalité:
3 ( x - 1 ) ( x + 5 ) < 0
( Il est inutile de développer )
REP. Nous voulons que le trinome du second degré qui
admet 1 et - 5 comme racines soit du signe contraire à
a = 3 . Nous devons donc prendre x entre les deux racines
en les refusant ici puisque l'inégalité est stricte.
Conclusion: SIR = ] - 5 , 1[
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EX.4
Une grille comporte 49 cases numérotées de 1 à 49.
On demande de cocher 7 cases .
1. Combien de grilles remplies différentes peut - on avoir ?
2. Combien de grilles différentes remplies avec des nombres impairs
uniquement , peut-on avoir ?
3. Parmi les sept cases cochées par le joueur il y a le numéro complémentaire.
En admettant que le joueur a le bon numéro complémentaire , combien de
grilles différentes peut-on avoir ?
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REP. 1. Dénombrons les griles remplies possibles du loto.
Il y en autant que de combinaisons de 7 cases parmi 49 cases.
II y en a donc : C49 7 = 85 900 584 .
Conclusion: Il y a 85 900 584 grilles différentes remplies.
2. Dénombrons les grilles remplies différentes où les cases
cochées ne comportent que des nombres impairs.
Il y a 25 entiers impairs entre 1 et 49 .
Nous devons en choisir 7 parmi les 25 possibles.
Il y a donc C25 7 grilles différentes avec 7 nombres impairs.
Conclusion : Il y a 480 700 grilles remplies différentes
avec seulement des nombres impairs.
3. On supppose que le joueur a déjà le bon numéro complémentaire.
Le nombre de grilles différente ayant déjà ce
numéro complémentaire bon est 1 × C48 6 .
Conclusion: Il y a 12 271 512 grilles différentes où le numéro
complémentaire est le bon.
ATTENTION. Le nombre de grilles différentes où
l'on choisi d'abord un numéro , qui est pour le joueur
son numéro complémentaire pas forcément le bon ,
puis six autres numéros est : 7 × C48 6 .
Ce n'est pas ce que l'on demande.
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EX. 5 Une urne contient 7 boules rouges et 13 boules jaunes.
On tire successivement 5 boules , sans remise , de l'urne.
1. Soit A l'événement: " Obtenir des boules de la même couleur."
Donner Card ( A ).
2. Soit B l'evénement " Obtenir deux boules rouges et trois boules jaunes"
Donner Card ( B ).
REP . ATTENTION : REMARQUE PRELIMINAIRE.
• " successivement" signifie qu'il y a un ordre.
On ne considère donc pas des combinaisons.
• " Sans remise" signifie que l'on a des boules différentes.
Chaque fois que l'on réalise l'expérience on a une partie ordonnée
de 5 boules de l'urne.
CHAQUE ISSUE DE L' EXPERIENCE est un ARRANGEMENT DE 5 BOULES
prises parmi les 20 boules de l'urne.
1. Le nombre de "tirages " de 5 boules rouges successivement
sans remise est : A 7 5 = 2 520
Le nombre de "tirages " de 5 boules jaunes successivement
sans remise est : A 13 5 = 154 440 Donc au total il y a 2 520 + 154 440 "tirages " de 5 boules de la même couleur. Conclusion: Card(A) = 156 960 . 2 . Imaginons que les deux boules rouges soient aux deux premières places puis viennent les boules jaunes. Schéma: I 7 I 6 I 13 I 12 I 11 I R R J J J Il y aurait d'après le principe multiplicatif : ( 7 × 6 ) × ( 13 × 12 × 11 ) possibilités c-à-d A7 2 × A13 3 = 72 072 possibilités. MAIS voilà, les deux boules rouges peuvent se trouver à deux autres places parmi 5 places. Il y a C5 2 façons de choisir les deux places des deux boules rouges. Il y a donc C5 2 × A7 2 × A13 3 possibilités. Comme C5 2 = 10 C5 2 × A7 2 × A13 3 = 10 × 72 072 = 720 720 Conclusion : Card( B ) = 720 720