EX BAC INDE AVRIL 2006

                        EXERCICE DE BAC S    2006 INDE

     EXERCICE

      Le plan est muni d'un repère orthonormal direct

       repere-orthonormal-avec-u-et-v.gif .

      On prendra pour unité graphique 5 cm.

      On pose  z0 = 2  et, pour tout entier naturel n,

                        egalite923.gif

     On note An  le point d'affixe zn  .

     1. Calculer z1   , z2   , z3   ,z4   et vérifier que z4  

          est un nombre réel.

          Placer les points  A1   , A2   , A3   et A4   sur une figure

      2. Pout tout entier naturel n, on pose un = | zn  |.

           Justifier que la suite ( un  ) est géométrique puis établir que,

                     pour tout entier naturel n ,

                     egalite925.gif 

      3. A partir de quel rang n0  tous les point An  appartiennent-ils

         au disque de centre O et de rayon 0,1 ? 

      4.a. Etablir que, pour tout entier naturel n,

                                         egalite924.gif

               En déduire la nature du triangle O An An + 1.

            b. Pour tout entier naturel n , on note Ln   la longueur de la

               ligne brisée  A0   , A1   , A2   .... An - 1    ....  An   .

                On a ainsi   Ln  =  A0  A1  + A1 A2   +... + An - 1 An   .

                Exprimer Ln en fonction de n.

               Quelle  est la limite de la suite ( Ln ) ?