DV n ° 7 1S1 27 MARS 2010

                         DV n ° 7    1S1    pour le 27 mars 2010  

           EXERCICE 1  

                 Le plan est muni d'un repère orthonormal

                   .

                  ( Unité graphique : 1 cm )

                Soit la fonction f : x  → ( x² - 3 x ) / ( x + 1 )   définie dans IR- { - 1 }.

                Soit C sa courbe représentative.

              1. Trouver sa fonction dérivée f '.

              2. Donner le signe de f '( x )  suivant x dans  IR- { - 1 }.

              3. Dresser le tableau de variation de f.

              4. a. Déterminer  f( x ) - ( x - 4 ) pour tout x dans IR.

                 b. Montrer que  lim (  f( x ) - ( x - 4 ) )  = 0

                                          x  → + ∞

                      Que peut-on en déduire pour la courbe ( C ) de f  en  + ∞ ?

                 c.Tracer la courbe ( C ) de f  ainsi que les droites D: y = x - 4  et

                     D ' : x = - 1 dans le même repère.

               5. Donner une équation de la tangente T à ( C )  au point d'abscisse 2.

               6. Soit K le point d'intersection des droites D et D '.

                a. Donner la nouvelle équation de ( C ) dans le nouveau repère

                   .

                 On la notera Y = g( X ) pour X non nul.

                b. Etudier la parité de la fonction g.

                    En déduire une particularité de la courbe ( C ) de g.

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                    EXERCICE 2  

                             Soit la fonction: 

                                     

                              Le plan est muni d'un repère orthogonal

                               .

                              ( Unités graphiques:   1 cm suivant l'axe des abscisses.                                                       

                                                                  0,5 cm suivant l'axe des ordonnées         )

                 1. a. Rechercher la fonction dérivée h' de h.

                     b. Etudier son signe.

                     c. En déduire le tableau de variations de la fonction h.

                  2. Construire la courbe de h.

                  3 . Discuter graphiquement suivant le réel m

                       le nombre de solutions de l'équation  h( x ) = m. 

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                   EXERCICE  3                   

                          Soit la fonction k : x → x4 -  x3 + x2 - 0,75 x + 1.

             1. Trouver la fonction dérivée k ' de k.

             2. Trouver la fonction dérivée k ' '  de la fonction k '.

                k ' '  s'appelle la fonction dérivée seconde de k.

             3. a. Calculer k ' ( 0,5 ).

                  b. Donner le signe de k ' ' .  

                      En déduire le tableau de variation de  k ' . 

             4. Déterminer alors  le signe de k ' . 

             5. En déduire alors le tableau de variation de la fonction k.

                        (  La courbe de k  n'est pas demandée . )

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                               EXERCICE   4  

                          Méthode d'Euler

          Soit f une fonction définie et dérivable dans  l'intervalle I = [ 1 ; + ∞ [

          Le plan est muni d'un repère orthonormal

          .

           Soit ( C ) la courbe de f .

           On ne connait pas ( C ). Le but est de trouver une courbe ( C ' )

           qui approche ( C ).

           Soit h un réel strictement positif . ( Le pas )

         • On dispose de la valeur de la fonction f  en x = 1.

           f( 1 ) = 0

          Par contre on ne dispose pas de l'expression de f.

          • On dispose sur I de l'expression de f '.

             f ' ( x ) = 1 / x   pour tout x dans I.

          On peut alors approcher la courbe ( C ) de f  sur les intervalles

           [ 1 ; 1 + h ] , [ 1 + h ; 1 + 2 h ] ,  [ 1 +2 h ; 1 + 3 h ] ,  .....    etc. par une succession

          de segments "de tangentes fictives."

             On utilise l'approximation affine  : ( comme h est sensé être proche de 0 )

                     f( 1 + h )    ≈ f( 1 ) + h f ' ( 1 )

           puis   f( 1 + 2 h )    = f( (1 + h )+ h ) ) ≈       f( 1 + h )  + h f '( 1 + h )  

         puis   f( 1 + 3h ) = f( (1 + 2h )+ h ) ) ≈    f( 1 + 2 h )     + h f '( 1 + 2 h )

         Ainsi de suite de la même façon.

           L'imprécision s'accumule.

         QUESTIONS:

      1 .  Tracer la courbe ( C ' ) qui approche  ( C ) sur l'intervalle [ 1 ; 3 ] avec un pas  h = 0, 5 .

      2.    Tracer sur le même graphique la courbe de la fonction ln de la calculatrice.

            C'est celle  ( C ) de la fonction f sur cet intervalle.

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