EX 4 bac S SPE juin 2017

                  Sujet de spé maths.    2017  Métropole

             EXERCICE 4            ( 5 points ) 

                                  Pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

     On appelle « triangle rectangle presque isocèle », en abrégé TRPI, 

    un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit ont pour longueurs 

    x et x + 1, et dont l’hypoténuse a pour longueur y, où x et y sont des entiers naturels.

     Der12

     Ainsi, un TRPI est un triangle rectangle dont les longueurs des côtés de

    l’angle droit sont deuxnombres entiers consécutifs et dont la longueur

     de l’hypoténuse est un nombre entier. Si le triangle de côtés x , x + 1 et y,

     où y est la longueur de l’hypoténuse, est un TRPI, on dira que le couple

     (x ; y) définit un TRPI.

   Partie A

     1. Démontrer que le couple d’entiers naturels (x; y) définit un TRPI

              si et seulement si on a :   y2   = 2 x2  + 2 x + 1

     2. Montrer que le TRPI ayant les plus petits côtés non nuls est défini

         par le couple (3 ; 5). 

    3. a. Soit n un entier naturel. Montrer que si n2  est impair alors n est impair.

         b. Montrer que dans un couple d’entiers (x ;  y) définissant un TRPI,

             le nombre y est nécessairement impair.

     4. Montrer que si le couple d’entiers naturels (x ; y) définit un TRPI, alors

         x et  y sont premiers entre eux.

   Partie B

        On note A  la matrice carrée :

          2017mat

       et B la matrice colonne :

           2017mat2  

       Soient x  et y deux entiers naturels ; on définit les entiers naturels

          x′ et y′ par la relation :

          2017mat3

    1. Exprimer x′ et y′ en fonction de x et y.

    2. a. Montrer que : y′2 − 2x′ (x′ + 1 ) = y2  − 2 x (x  + 1).

       b. En déduire que si le couple ( x ; y) définit un TRPI, alors le couple ( x′; y′)

            définit également un TRPI.

    3. On considère les suites ( xn )n∈IN et ( yn )n∈IN d’entiers naturels, définies par

          x0  = 3,  y0 = 5 et pour tout entier naturel n :

                   2017mat4

          Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, le couple

           (xn ; yn) définit un TRPI.

    4. Déterminer, par la méthode de votre choix que vous préciserez, un TRPI 

         dont les longueurs des  côtés sont supérieures à 2017.

 

  17MASSMLR1