INFO EXERCICE :Loi Binom. Loi Exponen.

                       LES LOIS BINOMIALES ET LES LOIS EXPONENTIELLES              TS    juin 2013

   

          EXERCICE   ( Ex de bac Amérique du Nord ) 

             Les parties A et B sont indépendantes.

             Albert fabrique des appareils électroniques.

             Pour cela il doit acheter des composants dans un magasin.

             On estime que la probabiité qu'un composant vendu soit défectueux est 0,02.

       PARTIE  A:

            On admet que le nombre de composants disponibles dans le magasin est 

            suffisamment important pour que l'achat de 50  composants soit assimilé à 

            50  tirages indépendants  avec remise. Albert achète 50 composants électroniques.   

        1. Quelle est  la probabilité qu'exactement deux composants achetés soient défectueux?

                  On répète 50 fois de façon indépendante l'achat de composants électroniques

                 dont certains sont défectueux, c'est-à-dire on répète 50 fois de façon indépendante

                   50 fois une épreuve de Bernoulli dont les deux issues sont "défectueux" et " non défectueux"

                  avec 0,02 la probabilité de  " défectueux".   X désigne le nombre de composants défe ctueux achetés.

                  Donc:   X suit la loi binomiale B ( 50 ; 0,02 ).

              Donnons la valeur exacte  de  P( X  = 2 ) puis la  valeur approchée à 10 - 1    près:

               Conclusion :

                   probino.png

                      Avec la TI 84:

                            2ND     VARS  

                       Apparaît:    DISTR          DRAW

                      Descendre juqu' à la ligne A  pour avoir :

                       binompdf(             

                      Mettre    50   , 0,02  ,   2   )

                     ENTER

                     Conclusion :  P( X = 2 ) ≈  0, 2

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           2. Qu'elle est la probabiité qu'au moins un des composants achetés soit défectueux?

              Puis donner une valeur approchée à 10- 1      près de cette probabilité.

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           REPONSE:

          On veut:                P ( X ≥ 1 ).

        Mais :                   P( X ≥  1 )  = 1 - P( X < 1 )  =  1 - P( X = 0 )

            c-à-d    

                    P( X ≥  1  ) =   1 - ,020   ×  0,9850          

                  Conclusion :

                      P( X ≥  1 )  = 1 - 0,9850    

                Mais :    P( X ≥  1  ) ≈ 0,6358

               Donc   :        P( X ≥  1  ) ≈  0,64    

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            3. Quel est par lot de 50 composants achetés , le nombre moyen de

                composants défectueux ?

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           REPONSE :

                        On veut l'espérance de X

                          E( X ) n ×  p

              Ainsi :   E( X ) = 50 ×  0,02 = 1

                  Conclusion :   E( X ) = 1

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            PARTIE B.

      On suppose que  la durée de vie T1   , en heures, de chaque composant

      défectueux suit une loi exponentielle de paramètre  λ1 = 5 × 10 - 4    

      et que la durée de vie T2 , en heures, de chaque composant non défectueux

       suit une loi exponentielle  de paramètre  λ2 =  10 - 4     .

       1. Calculer la probabilité que la durée de vie d'un composant soit supérieure à 1000 heures:

              a. Si le composant est défectueux.

              b. Si le composant n'est pas défectueux.

         On donnera une valeur approchée de ces probabilités  à 10 - 4     près

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         REPONSE:

        1.a . Comme le composant est défectueux utilisons T1 .

                On a :

                       P( T1  ≥ 1000 ) = e - 1000  × λ1      

                avec    λ1 = 5 × 10 - 4  

                         Ainsi :         P( T1  ≥ 1000 ) = e -  0, 5        

                      D'où :   P( T1  ≥ 1000 )  ≈ 0,6065

              Conclusion :  

                         P( T1  ≥ 1000 )  ≈ 0,60   

         b.  Comme le composant est "non défectueux" utilisons T2 .                   

                     On a :

                       P( T2  ≥ 1000 ) = e - 1000  × λ2      

                avec    λ2 =  10 - 4  

                         Ainsi :         P( T2  ≥ 1000 ) = e -  0, 1        

                      D'où :   P( T2  ≥ 1000 )  ≈ 0,9048                 

                 Conclusion :  

                                        P( T2  ≥ 1000 )  ≈ 0,90   

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             2. Soit T la durée de vie , en heures, d'un composant acheté au hasard.

                 Démontrer que la probabilité que ce composant soit encore en état

                 de marche après t heures de fonctionnement est:     

                    pt-1.png

              (  On rappelle que la probabilité qu'un composant vendu dans le magasin soit

                  défectueux est égale à 0,02. )

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             REPONSE:

           Arbre :

                 arbreamernord.png

                  On a :

                          prbdefnondef.png

                          ( Ces deux probabilités sont non nulles )

                     et

                                    ptsup.png

                      Or :

                                          incompat.png

                       prbcond.png

               Ainsi :

                  Conclusion:

                     pt-1.png

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   3. Sachant que le composant acheté est encore en état de fonctionner 1000 heures

       après son installation, quelle est la probabilité que ce composant soit défectueux?

       Donner une valeur approchée de cette probabilité à 10- 2 près.

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    REPONSE:

            Nous voulons:

                             pbrcondamnor.png

             P( T ≥ 1000 ) ≠ 0

            Ainsi d'après le cours:

              prbcondsup.png

             Mais :

                 En remplaçant  t par 1000  dans

                  pt-1.png

                  il vient :

                       ptsupmille-1.png

              De plus :

                 

             prnum.png

              Donc:

                                  reponse.png

               On a :

                                        clc.png

                    Conclusion :

                            La probabilité que le composant soit défectueux sachant qu'il

                            a déjà fonctionné 1000 heures est 0,01

                             

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