EX BAC PROBA

                                                         REVISIONS    PROBABILITES    TS  JUIN 2012

                 EXERCICE BAC              5 POINTS

    

                                              urne-ex-bac-2.jpg

              Une urne contient  10 boules blanches et n boules rouges ,

              n étant un entier naturel supérieur ou égal à 2.

             On fait tirer à un joueur des boules de l'urne.

             A chaque tirage, toute les boules ont la même probabilité d'être tirées.

             Pour chaque boule blanche tirée, il gagne 2 euros et pour chaque boule

             rouge tirée, il perd 3 euros.

             On désigne par X la variable aléatoire correspondant au gain algébrique

            obtenu par le joueur.

             Les trois questions sont indépendantes.

            1. Le joueur tire deux fois successivement et sans remise une boule de l'urne.

                a. Démontrer que :    P( X = - 1) = 20 n / [( n + 10 ) ( n + 9 )]

                b. Calculer, en fonction de n , la probabilité correspondant aux

                     deux autres valeurs prises par X.

               c. Vérifier que l'espérance mathématique de la variable aléatoire X vaut:

                   E( X ) = ( -  6 n2 - 14 n + 360  ) / [( n + 10 ) ( n + 9 )]

              d. Déterminer les valeurs de n pour lesquelles l'espérance mathémathique 

                   est strictrement positive.

              2. Le joueur tire 20 fois successivement avec remise une boule de l'urne .

                 Les tirages sont indépendants.

                 Déterminer la valeur minimale de l'entier n afin que la probabilité d'obtenir 

                au moins une boule rouge au cours de ces 20 tirages soit strictement supérieure

                à 0,999.

              3. On suppose que n = 1000 . L’urne contient donc 10 boules blanches

                  et 1000 boules rouges.

                  Le joueur ne sait pas que le jeu lui est complètement défavorable et décide

                  d’effectuer plusieurs tirages sans remise jusqu’à obtenir une boule blanche.

                  Le nombre de boules blanches étant faible devant celui des boules rouges

                  on admet que l’on peut modéliser le nombre de tirages nécessaires pour

                  obtenir une boule blanche par la variable aléatoire Z suivant la loi :

                                     Pour tout k dans IN , P( Z ≤ k ) = ∫0 k   0,01 e- 0,01 x  dx

                 On répondra donc aux questions à l’aide de ce modèle.

                a. Calculer la probabilité que le joueur ait besoin de tirer au plus

                     50 boules pour avoir une boule blanche, soit P( Z  ≤  50 ).

                 b.  Calculer la probabilité conditionnelle de l’événement : «  Le joueur a

                     tiré au maximum 60 boules pour tirer une boule blanche » sachant

                     l’événement «  Le joueur a tiré plus de 50 boules pour tirer une boule blanche »

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