INFO TEST 1 B NUMERATION

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                      INFO TEST n° 1    NUMERATION     BTS1 B        Mardi 4 octobre 2011     

 EXERCICE 1                     2 PTS

                        Convertir en binaire les nombres d'écriture décimale suivants 

                        par la méthode des divisions successives:

                           •  228  

                            • 114  

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         Réponse:

                        • Pour 228  écrit en base 10.

                             On  a :           228 = 2 × 114 + 0

                                                  114 = 2 × 57 + 0

                                                   57 = 2 × 28 + 1                     ↑

                                                   28 = 2 × 14 + 0                     ↑

                                                    14 = 2 × 7 + 0                      ↑

                                                    7 = 2 × 3 + 1                        ↑

                                                     3 = 2 × 1 + 1                       ↑

                                                      1 = 2 × 0 +        Au s'arrête au premier quotient nul.

                                                      228 = (   110010 )2

                                         Conclusion : 228 = (11100100)2

                        • Pour 114         228 est le double de 114.

                         Donc 114 sera obtenu en supprimant à droite un zéro à l'écriture binaire de 228.

                          Ainsi :      Conclusion :  114 =  ( 1110010)2          

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  EXERCICE 2                           3 PTS          

                             Convertir en binaire les nombres d'écriture décimale

                            suivants par la méthode des plus grandes puissances de 2 :

                          •  261

                          • 463    

                          • 197          

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        Réponse:

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8
2n 1 2 4 8 16 32 64 128 256
n 9 10 11
2n 512 1024 2048

                       METHODE AVEC LES PLUS GRANDES PUISSANCES DE 2.

                        • Pour  261                  On a:          256  ≤ 261 <  512            

                                                            c-à-d         28  ≤ 261 <  29

                                                           Donc       261 = 1 × 28   + 5

                                                           On a      5  = 1 × 22   + 1

                                                           On a          1 = 1 × 20   + 0         On s'arrète au

                                                                                                            premier reste nul

                        Ainsi :                         261 = 1 ×28 + 1 ×22 +1 × 20          

     c-à-d        261 =  1 ×28 +0 × 2+0 × 2 + 0 × 2+ 0 × 2+ 0 × 21 ×22 0 × 2+1 × 20        

 On a écrit 261 comme polynôme de puissances de 2

                         On convient d'écrire:                        261  =   ( 100000101 )2                

                          Conclusion :    261 =  ( 100000101 ) 

                           • Pour  463 :                  456 ≤ 463 < 512

                                    c-à-d                       28  ≤ 463 <  29      

                                   On a :                   463 =  28 + 207

                                                                207 =   27  + 79

                                                                  79 =    26+ 15

                                                                  15 =   23  + 7

                                                                  7 =   22  + 1

                                                                   1 = 20   + 0            On s'arrête au premier reste nul.

                              Donc :      463 = 1 × 28+  1 × 22 + 1 × 21 + 1 × 20        

                               Ainsi    463 = ( 111001111  )2

                               Conclusion :     463 =  ( 111001111 )      

                               •  Pour 197 :         On a      128 ≤  197 < 256

                                                     c-à-d           27     ≤  197 < 28         

                                              Ainsi :         197 =    1 × 2+ 69

    Mais    64 ≤ 69 < 128                              69 =  1  × 2+ 5

   Mais    4 ≤ 5 < 8                                     5 = 1 × 22 + 1 × 20   

                                       On a :    197 =    1 × 27+  1 × 26 + 1 × 22 + 1 × 20   

                                    Ainsi 

                                 Conclusion :    197 =  ( 11000101)

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 EXERCICE 3                           2 PTS

                       Donner l'écriture décimale des nombres suivants:

                 •     ( 110001111  )2

                  •     ( 110010110  )2

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              Réponse:

           • Pour       ( 110001111  )2

 On a :     ( 110001111  )2 =  1 × 28 +  1 × 2+  1 ×   23  +  1 × 22 + 1 × 21  +1 × 20   

Donc    :     ( 110001111  )2 =  399

         Conclusion :     ( 110001111)  = 399   

        • Pour     ( 110010110  )2                  

On a :     ( 110010110  )2    =  1 × 28 +  1 × 2+  1 × 24 +  1 × 22 + 1 × 21     

         Conclusion :     =  ( 110010110 )  = 406                   

 

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          EXERCICE 4                           3 PTS

1.       Déterminer la base a ( a entier tel que a > 1 ) dans laquelle

                               ( 75  )a    = 2 × ( 37 )a       

2.       a. Dans un tableau écrire la suite des nombres entiers entre 150 et 160

            en base 16.

        b. Trouver l’écriture en base 16 de l’entier  ( 45 – 1 )( 45 + 1 ) .

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       Réponse:

1.       Déjà on sait que  a > 7 car le symbole 7 est utilisé.

           On a   ( 75  )a    = 2 × ( 37 )a       

                  qui se traduit en système décimal par

                                      7 × a1 + 5 × a0= 2 ( 3 × a1 + 7×a0 )

                     c-à-d    7 a + 5 = 6 a + 14

                      c-à-d     7a - 6a  = 14 – 5

                      c-à-d      a = 9          9 > 7      donc convient

                         Conclusion :    a =  9  

               2. a.   On a :     Divisons 150 par 16

150 | 16
   6 |   9

             Ainsi:                   150 = 9 × 16 +  6  × 160  

                                        150 = 9 × 161  + 6 ×160

                          Donc               150 = ( 9 )16      

                          Puis        151 = 150 + 1

                          Donc    151  = ( 96 )16    + 1 

                           c-à-d                151 = ( 97 )16    

                          Ainsi de suite :

                                        152 = ( 98 )16    

                                        153  = ( 99 )16    

                                    154 = 9 × 16 + 10   × 160 

                                       10 est  A en base 16

                     Donc       154  = ( 9A )16    

                       Puis      155 =  ( 9B )16    

                      Puis         156 = ( 9C )16    

                    Puis           157 = ( 9D )16    

                    Puis          158 = ( 9E )16    

                    Puis            159 = ( 9F )16    

                     Enfin      160 = 10 × 16 + 0

                     Donc      160 = A0

b.     Ecriture en base 16 de  ( 45 – 1 )( 45 + 1 ).

          Première méthode:

            On a :

 ( 45 – 1 )( 45 + 1 ) = (  ( 45 )2 -1 )

 c-à-d

  ( 45 – 1 )( 45 + 1 ) = (  ( 42 )5 -1 )

 c-à-d

    ( 45 – 1 )( 45 + 1 )    =  165 - 1

Or       165 =  ( 100000  )16       

Donc      165 – 1  =  ( 100000  )16    - 1

    100000          En rouge les retenues

 111111            1 ôté de 0 donc ôté de 16 , il reste 15 c-à-d  F avec

-----------------        une retenue de 1  etc

    0FFFFF

         Conclusion :  ( 45 – 1 )( 45 + 1 )   = FFFFF  en base 16.       

     Autre méthode : Passer par le système décimal.

       ( 45 – 1 )( 45 + 1 ) = 1023 × 1025  = 1048575   en système décimal

Mais            164  <  1048575   < 165   

1048575 = 15 ×  164    +    65535

                163  <  65535   < 164   

    65535  = 15 ×  163    +   4095

              162  <  4095   < 163   

   4095   = 15 ×  162    +  255

                     16  <  255  < 162   

      255  = 15 ×  161   + 15  ×  160  

 15 est A en système de base 16.

  On a :

1048575 = 15 × 164  +  15 × 163  + 15 × 162 15 ×  161   + 15   ×  160    

  c-à-d

1048575 =  F   × 164  +   F  × 163  +  F × 162 +   F ×  16  +  F   

    Conclusion :  ( 45 – 1 )( 45 + 1 )   = FFFFF  en base 16.       

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