INFO LISTE A EX BARY. 1S1

  LISTE  A      EXERCICES       BARYCENTRE 1S    OCT. 09

      EXERCICE 1

                 Soit A et B deux points pondérés ( A , 2 ) et ( B , - 2 ).

                 Que peut-on dire du vecteur  2 vect( MA ) - 2 vect( MB )?

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  Réponse:

                                              

                            2 - 2 = 0

                 On a les points pondérés ( A , 2 ) et ( B , - 2 ).

                            

                 est un vecteur constant. Il est indépendant du point M que l'on peut donc choisir.

                  Prenons M = B .

                  Il vient:

                                      

                   Conclusion:   Le vecteur est :

                                                                   

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       EXERCICE 2

                   Soit A et B deux points.

                   Trouver l'ensemble

                    { M dans P / || vect( MA ) + 4 vect( MB) || = || 2 vect( MA) + 3 vect( MB) || }

                        Faire la figure.

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  Réponse:  

                                       

                             • Soit G le barycentre des points pondérés ( A , 1 ) et

                               ( B , 4 ) .

                                D'après la propriété fondamentale on a :

                                    1      +  4     = 5  

                                 • Soit G' le barycentre des points pondérés ( A , 2 ) et  ( B , 3 ) .  

                                D'après la propriété fondamentale on a :

                                    2      +  3     = 5

            Considérons l'égalité des normes des vecteurs  5    et   5   .

                                                ||   5     ||   =   ||   5   ||

                c-à-d                  5  ||     ||   =  5  ||    ||

               Cela se traduit par MG = MG' .

                  Conclusion : L'ensemble cherché est la médiatrice du segment

                                        [ G G ' ].

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       EXERCICE 3

                   Soient les points pondérés ( A , 1 ) , ( B , 3 ) , ( C , 2 ) .

                    Placer le barycentre de ces points pondérés.

                   ( On utilisera un barycentre partiel.)

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   Réponse:    

                                           

                         1 + 2 + 3 ≠ 0

                       Le point G barycentre des point pondérés  ( A , 1 ) , ( B , 3 ) , ( C , 2 )

                         existe.

                       Soit H le barycentre partiel des points pondérés ( A , 1 ) et ( C , 2).

                      H existe car 1 + 2 = 3         3 ≠ 0.

                     On place H en utilisant l'égalité vectorielle :

                         

                        G est l'isobarycentre des points H et B.

                        Conclusion : G est alors le milieu du segment [ H B]. 

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         EXERCICE 4

                 Soit la droite ( AB ) .

              1. Soit M un point de la droite ( AB ) non situé sur [ AB].

                    Etablir que M est le barycentre des points pondérés

                     ( A , MB ) et ( B , - MA ).

               2. Soit M un point du segment  [ AB].

                   Etablir que  M est le barycentre des points pondérés

                    ( A , MB ) et ( B ,  MA ).

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      Réponse:      1. Les vecteurs     et    sont colinéaires et de même sens.

                              Donc les vecteurs    et     sont colinéaires et de même sens

                             et de même norme. Ils sont donc égaux.

                                         MB     =  MA   

                                 c-à-d    MB      -  MA    =  

                                   MA ≠ MB

                                 

                                   Conclusion :

                                  M est le barycentre des points pondérés

                                 ( A , MB ) et ( B , - MA ).

                           2.  Les vecteurs     et    sont colinéaires et de sens contraires.

 

                                     Donc les vecteurs    et     sont colinéaires et de sens contraires                         

                                    et de même norme. Ils sont donc opposés .

                                         MB     = - MA   

                                 c-à-d    MB      +  MA    =  

                                   MA ≠ MB

                                       

                                 Conclusion:  M est le barycentre des points pondérés

                                 ( A , MB ) et ( B ,  MA ).

 

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           EXERCICE 5

            Soit un triangle ABC.

            Soit le vect( u ).      

              Placer le point D tel que :

              2 vect( DA) + vect( DB ) - vect( DC ) = vect( u ).

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        Réponse:

                                            

 

                        2 + 1 - 1 = 2      2 ≠ 0

                     Soit G le barycentre des points pondérés ( A , 2 ), ( B , 1 ) , ( C , - 1 ).

                     D'après la propriété fondamentale  et  M = D  on a :

                           2 vect( DA) + vect( DB ) - vect( DC ) = 2 vect( DG )

                     L'égalité donnée s'écrit donc  2 vect( DG )  = vect( u )

                      c-à-d       vect( DG ) = ( 1 / 2 ) vect( u ).

                      Cela permet de placer G puis D.

 

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            EXERCICE 6

            Soit ABC un triangle et  I le point milieu de [ BC].

            Soit les points T et N tels que : 

            vect( AN) = ( 2 / 3 ) vect( AB)

             vect( AT) = ( 2 / 3 ) vect( AC )

             Soit L le point d'intersection des droites ( BT) et ( CN ).

              Prouver que les points L , A , I sont alignés .

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    Réponses:    

                                           

 

                       • Soit J le barycentre des points pondérés ( A , 1 ) , ( B , 2 ).

                        On a alors l'égalité vectorielle:  vect( AJ) = ( 2 / 3 ) vect( AB)

                        Donc  vect( AJ ) =vect ( AN )     c-à-d    J = N.

                          Ainsi N est le barycentre des points pondérés  ( A , 1 ) , ( B , 2 ).

                        • De la même façon on montre que T est le barycentre des points

                         pondérés  ( A , 1 ) et ( C , 2 ).

                        • Soit G le barycentre des points pondérés ( A , 1 ) , ( B , 2 ), ( C , 2 ).

                           • •  G est le barycentre des points pondérés ( N, 3 ) et ( C,  2 ).

                                    Donc les points N , G et C sont alignés.

                            • •  G est le barycentre des points pondérés ( T , 3 ) et ( B , 2 ).

                                    Donc les points T,  G et B sont alignés.

                                  Ainsi le point G est sur les droite ( BT )  et ( CN ).

                                  D'où   G = L.

                                • • I est le barycentre de ( B , 2 ) et ( C , 2  ) car c'est le milieu

                                      du segment [ BC ]

                                       G est le barycentre de ( I , 2 ) et ( A , 1 ).

                                   G est donc aligné avec A et I.

                                   Conclusion:  L  est donc aligné avec A et I.

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