LISTE A EXERCICES BARYCENTRE 1S OCT. 09
EXERCICE 1
Soit A et B deux points pondérés ( A , 2 ) et ( B , - 2 ).
Que peut-on dire du vecteur 2 vect( MA ) - 2 vect( MB )?
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Réponse:
2 - 2 = 0
On a les points pondérés ( A , 2 ) et ( B , - 2 ).
est un vecteur constant. Il est indépendant du point M que l'on peut donc choisir.
Prenons M = B .
Il vient:
Conclusion: Le vecteur est :
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EXERCICE 2
Soit A et B deux points.
Trouver l'ensemble
{ M dans P / || vect( MA ) + 4 vect( MB) || = || 2 vect( MA) + 3 vect( MB) || }
Faire la figure.
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Réponse:
• Soit G le barycentre des points pondérés ( A , 1 ) et
( B , 4 ) .
D'après la propriété fondamentale on a :
• Soit G' le barycentre des points pondérés ( A , 2 ) et ( B , 3 ) .
D'après la propriété fondamentale on a :
Considérons l'égalité des normes des vecteurs 5 et 5 .
Cela se traduit par MG = MG' .
Conclusion : L'ensemble cherché est la médiatrice du segment
[ G G ' ].
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EXERCICE 3
Soient les points pondérés ( A , 1 ) , ( B , 3 ) , ( C , 2 ) .
Placer le barycentre de ces points pondérés.
( On utilisera un barycentre partiel.)
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Réponse:
1 + 2 + 3 ≠ 0
Le point G barycentre des point pondérés ( A , 1 ) , ( B , 3 ) , ( C , 2 )
existe.
Soit H le barycentre partiel des points pondérés ( A , 1 ) et ( C , 2).
H existe car 1 + 2 = 3 3 ≠ 0.
On place H en utilisant l'égalité vectorielle :
G est l'isobarycentre des points H et B.
Conclusion : G est alors le milieu du segment [ H B].
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EXERCICE 4
Soit la droite ( AB ) .
1. Soit M un point de la droite ( AB ) non situé sur [ AB].
Etablir que M est le barycentre des points pondérés
( A , MB ) et ( B , - MA ).
2. Soit M un point du segment [ AB].
Etablir que M est le barycentre des points pondérés
( A , MB ) et ( B , MA ).
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Réponse: 1. Les vecteurs et sont colinéaires et de même sens.
Donc les vecteurs et sont colinéaires et de même sens
et de même norme. Ils sont donc égaux.
MA ≠ MB
Conclusion :
M est le barycentre des points pondérés
( A , MB ) et ( B , - MA ).
2. Les vecteurs et sont colinéaires et de sens contraires.
Donc les vecteurs et sont colinéaires et de sens contraires
et de même norme. Ils sont donc opposés .
MA ≠ MB
Conclusion: M est le barycentre des points pondérés
( A , MB ) et ( B , MA ).
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EXERCICE 5
Soit un triangle ABC.
Soit le vect( u ).
Placer le point D tel que :
2 vect( DA) + vect( DB ) - vect( DC ) = vect( u ).
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Réponse:
2 + 1 - 1 = 2 2 ≠ 0
Soit G le barycentre des points pondérés ( A , 2 ), ( B , 1 ) , ( C , - 1 ).
D'après la propriété fondamentale et M = D on a :
2 vect( DA) + vect( DB ) - vect( DC ) = 2 vect( DG )
L'égalité donnée s'écrit donc 2 vect( DG ) = vect( u )
c-à-d vect( DG ) = ( 1 / 2 ) vect( u ).
Cela permet de placer G puis D.
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EXERCICE 6
Soit ABC un triangle et I le point milieu de [ BC].
Soit les points T et N tels que :
vect( AN) = ( 2 / 3 ) vect( AB)
vect( AT) = ( 2 / 3 ) vect( AC )
Soit L le point d'intersection des droites ( BT) et ( CN ).
Prouver que les points L , A , I sont alignés .
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Réponses:
• Soit J le barycentre des points pondérés ( A , 1 ) , ( B , 2 ).
On a alors l'égalité vectorielle: vect( AJ) = ( 2 / 3 ) vect( AB)
Donc vect( AJ ) =vect ( AN ) c-à-d J = N.
Ainsi N est le barycentre des points pondérés ( A , 1 ) , ( B , 2 ).
• De la même façon on montre que T est le barycentre des points
pondérés ( A , 1 ) et ( C , 2 ).
• Soit G le barycentre des points pondérés ( A , 1 ) , ( B , 2 ), ( C , 2 ).
• • G est le barycentre des points pondérés ( N, 3 ) et ( C, 2 ).
Donc les points N , G et C sont alignés.
• • G est le barycentre des points pondérés ( T , 3 ) et ( B , 2 ).
Donc les points T, G et B sont alignés.
Ainsi le point G est sur les droite ( BT ) et ( CN ).
D'où G = L.
• • I est le barycentre de ( B , 2 ) et ( C , 2 ) car c'est le milieu
du segment [ BC ]
G est le barycentre de ( I , 2 ) et ( A , 1 ).
G est donc aligné avec A et I.
Conclusion: L est donc aligné avec A et I.
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