INFO EX 1 S 2016

                        Info sur l'épreuve de mathsS   session juin 2016

         EXERCICE 1

             Partie A 

               1. Montrer que la probabilité de l'événement S est  P( S ) = 0,89.

                D'après l'énoncé :   P( A ) = 40%    et  P( B ) = 1 − P( A )  = 60 %

                                 De plus:      PA( Sbarre  )  = 20%   et     PB( Sbarre  )  = 5 %

                                    Ainsi :     PA( S  )  =  1  −   PA( Sbarre  )  = 1 −  20 % = 0,8

                                           et      PB( S  )  =  1  −   PB( Sbarre  )  = 1 −  5 % = 0,95

               L'arbre pondére non exigé est :

                                          T2

                 On a :    S = ( S ∩ A   ) U ( S ∩ B )

                  avec      S ∩ A   et   S ∩ B   disjoints .

                   Donc :    P(  S ) = P( S ∩ A   ) + P ( S ∩ B ) 

                  Comme       P(A ) ≠ 0 et   P(B ) ≠ 0.

                Onpeut dire :     P(  S ) = P( A ) ×  PA( S  ) + P( B ) × PB ( S  ) 

                 Cela donne  :             P(  S ) = 0,4  ×  0,8 + 0,6  × 0,95  = 0,89

               Conclusion: Oui.   P(  S ) = 0,89  

              2. Sachant que le composant ne présente pas de défaut,

                  déterminer la probabilité qu'il provienne de la chaîne A à 10 − 2 près. 

                Calculons donc PS ( A ).

                 On a :

                                    T1 1

                  On a déjà utilisé  :   P( S ∩ A   ) =  P( A ) ×  PA( S  ) =  0,4  ×  0,8 = 0,32

                       de plus  P( S ) = 0,89

                  Donc  :    PS ( A ) = 0,32 / 0,89

               c-à-d 

                            PS ( A )  ≈ 0,3595

                           Conclusion :      PS ( A )  ≈ 0,36     à 10 − 2  

              Partie B.

                     1. Déterminons un intervalle de confiance de la proportion p au niveau de confinace de 95 %.

                       Pour n = 400  , la taille de l'échantillon prélevé au hasard, la fréquence de sans défaut est F = 0,92.

                     On a : n > 30 

                     Donc un intervalle de confiance de la proportion p au niveau de confiance de 95 % est :

                       Ic =      [     F −   1 / √ n     ,   F +    1 / √ n     ]

                    c-à-d        Ic =      [     0,92 −   1 / √400    ;   0,92  +    1 / √400     ]

                   c-à-d          Ic =      [    0,92 −   1 / 20     ;   0,92  +    1 /20     ]

                    c-à-d         Ic =      [    0,92 −   0,05     ;     0,92  +   0,05     ]

                          Conclusion :           Ic =      [    0,87     ;      0,97     ]

                2. Quelle devrait  être la taille minimum de l'échantillon

                    pour qu'un tel intervalle de confiance ait une amplitude maximum de 0,02 ?

                  Considérons    Ic =      [     F −   1 / √ n     ,   F +    1 / √ n     ].

                Son amplitude est     2 / √ n.

                Nous voulons :      2 / √ n   ≤ 0,02

                      c-à-d                   1 / 0,01   ≤ n

                     c-à-d                   100  ≤ n

                 Conclusion:  La taille minimum de l'échantillon est n = 100

           Partie C .

                 1.a. Interpréter graphiquement   P ( T ≤ a )   où  a > 0.

                        P( T  ≤ a ) est l'aire sous la courbe de la fonction f sur l'intervalle [ 0,  a  ] en unité d'aire.

                     Le repère semble orthonormal.

                   Remarque:

                       Il n'y a aucune information sur la graduation donc sur l'unité d'aire

                     f( 0) =  λ e0  =  λ

                    La courbe de f  coupe l'axe des ordonnées en un point qui est d'ordonnée λ.

                   (  Si l'on compte le nombre de carreaux il semblerait que    λ = 5  ) 

                    b . Montrer que pour tout nombre réel t ≥ 0 :  P( T ≤ t ) = 1 − e − λ​ t.

                        C'est du cours.  

                     Soit  t ≥ 0.

                    On sait que :

                          T3 1

                 Conclusion: On retrouve la propriété de cours.

                c. En déduire que  :

                          T4

                   C'est aussi du cours.

                              λ  > 0.

                  Ainsi :

             T6 1

            Conclusion: Le résultat est retrouvé.

         2. On suppose que P( T ≤ 7 ) = 0,5 . Déterminer   λ  à 10 − 3 près.

            On pose   1 − e− 7 λ  = 0,5

          c-à-d 

                        0,5 =  e − 7 λ     

          c-à-d      ln( 0, 5 ) =  −  7 λ  

          c-à-d       −   ln( 0,5)   /  7   =  λ

                      λ ≈  0,09902

                     Conclusion :     λ ≈ 0,099 

     3.  Dans cette question on prend      λ = 0,099. et on arrondit

             les résultats des probabilités au centième.

        a. On choisit au hasard un composant fabriqué dans cette usine.

           Déterminer la probabilité que ce composant fonctionne au moins 3 ans.

           Calculons donc  P( T ≥ 3  ).

         On a:     P( T ≥ 3  )  = 1 −   P( T ≤ 3  )  = e − 3 × λ

          Donc :   P( T ≥ 3  )  = e − 3 × 0,099    

           c-à-d     P( T ≥ 3  ) ≈   0,7430

              Conclusion:     P( T ≥ 3  ) ≈   0,74

        b. On choisit au hasard un composant parmi ceux qui fonctionnent encore au bout de 2 ans.

            Déterminer la probabilité que ce composant ait une durée de vie supérieure à 7 ans.

              T est à durée de vie sans vieillissement.

              Donc:  

                    T7 1

                La probabilité cherchée est donc simplement     P( t   ≥ 5 ).

               Mais:     P( T ≥ 5 ) = 1 − P( T ≤ 5 ) = e− 5 × λ   

               Ainsi :   P( T ≥ 5 ) = e− 5 × 0,099    

                On a :               P( t   ≥ 5 ) ​  ≈   0,609571

             Conclusion:   P( T ≥ 5 ) ≈    0,609  au centième près  

     c. Donner l'espérance mathématique E( T ) de la variable aléatoire T à l'unité près.

         Interpréter ce résultat.

            On sait que :   E( T ) = 1 /  λ 

            Donc:    E( T ) = 1 / 0,099

        Conclusion:      E( T ) ≈  10,10    au centième près

         Cela signifie que la durée de vie moyenne d'un composant  électronique fabriqué par cette usine est

               10,10 ans.

             365 × 0,10 = 36,5

              24 × 0,5  = 12

              c-à-d  10 ans et  36 jours 12 heures environ.

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