INFO 1 DS n° 3 1S1 18/11/09

          INFO 1   DS n° 3  1S1    18 / 11 / 09     

       EXERCICE  1.     6 POINTS

                                  Le plan P est muni d'un repère orthonormal 

                                    .           ( unité graphique: 2 cm )

                           Soit les points A( 0 ; 4 ) , B( 2 ; 6 ) , C( 5 ; 0 ) du plan.

                           Soit G l'isobarycentre des points A, B , C.

                           Soit H le barycentre des points pondérés ( A , 2 ) et  ( C , 1).

           1.  Donner les coordonnées du point G.

                   On a:   

                                    

                Placer les points A, B , C , H et G dans le repère.

              G est le point d'intersection des médianes du triangle ABC.   

              On a l'égalité vectorielle suivante qui permet de placer le point H.

                       

                                                                                     

           2.   a. Soit M un point quelconque du plan.

                      Réduire, à l'aide de la propriété fondamentale, les vecteurs:

                            ,    

                 On a :

                                     

                  b. Déterminer et représenter l'ensemble:

                            

                      On a :

                                   

                      Donc

                                   

                      Ainsi     W est l'ensemble des points M du plan tels que  MG = MH  .

                     Conclusion:    W est la médiatrice du segment [ GH].

           3.  a. Trouver la distance AC.

                        On a :        AC²  =  ( 5 - 0 )² + ( 0 - 4 )²   = 25 + 16 = 41  

                        Conclusion :   AC = √41   

                b. Déterminer et représenter l'ensemble:

                              

                      On sait que :       

                        Ainsi:        

                                            

                          Conclusion:    V  est le  cercle de centre G et de rayon ( √41 ) / 3  .

           4. A tout point M du plan on associe le point M' tel que:

                                              ( 1 )

                 a. Montrer que ( 1 ) peut s'écrire :                                       

                                                  

                      On a:

                                         

                             Conclusion:   On a bien l'égalité   .

                 b. Quelle est la transformation plane h qui au point  M asssocie le point M' ?

                      D'après l'égalité vectorielle précédente     on peut dire que h est

                      l'homothétie de centre G et de rapport - 2.

                     Conclusion:   On a l'homothétie h( G ; - 2 )  

                 c. Placer le point O', image du point O par h.

                       L'égalité vectorielle         permet de placer le point O'.

 

 

 

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