INFO  ACTIVITE  : CARMICHAËL TS spé math.

                 INFO  ACTIVITE  SUR CARMICHAËL        TS spé math.         avril 2017                    

      Activité sur les nombres de Carmichaël.  

          Un entier naturel n  est un nombre de Carmichaël 

                                   si et seulement si

                 •  n > 2.

                 • n est le produit d'au moins trois nombres premiers autres que 2.

                 • Soit p un nombre premier p quelconque.

                      p | n       ⇒      p − 1   |  n − 1.

       1. Soit n = 561 = 3 × 11 × 17.

           n est-il un nombre de Carmichaël?

            REPONSE:

                On a:

                •  561 > 2

                • 3 , 11 ,  17 sont des nombres premiers autres que 2 et

                       561 = 3 × 11 × 17.

                • Les nombres premiers qui divisent 561 sont  3 , 11 ,  17.

                     561 − 1 = 560

                     ♦ 3 − 1 = 2          Or    2 | 560      sachant     560 = 2 × 280

                     ♦ 11 − 1 = 10       Or    10  | 560       sachant     560 = 10 × 56

                     ♦ 17 − 1 = 16       Or    16  | 560         sachant     560 = 16 × 35

             Conclusion:  OUI. 561 est bien un nombre de Carmichaël.

       2. Soit n = 1105 = 5 × 13  × 17.

              n est-il un nombre de Carmichaël ?

           REPONSE:

                 On a:

                •  1105 > 2

                •  5 , 13 ,  17 sont des nombres premiers autres que 2 et

                       1105 = 5 × 13 × 17.

                • Les nombres premiers qui divisent 1105 sont  5 , 13 ,  17.

                     1105 − 1 = 1104

                     ♦ 5 − 1 = 4          Or    4 | 1104           sachant   1104 = 4 × 276

                     ♦ 13 − 1 = 12       Or    12  | 1104        sachant     1104 = 12 × 92

                     ♦ 17 − 1 = 16       Or    16  | 1104      sachant     1104 = 16 × 69

                 Conclusion:  OUI. 1105 est bien un nombre de Carmichaël.

       3. Un nombre de carmichaël peut-il être premier ?

            REPONSE:

           Soit n un nombre de Carmichaël.

           Alors n est le produit d'au moins trois nombres premiers p1 , p2 , p3 autres que 2.

           Ainsi : Il existe un entier naturel non nul q tel que  :  n =  p1 × p2  × p ×  q

           p1 × p2    est un entier naturel qui divise n car n est un multiple de p1 × p2 .

           p1 × p2  ≠  1   car  p1  > 2

            p1 × p2    n​   car  p1 × p2  ≠   p1 × p2  × p ×  q      sachant   p3  > 2           

           Donc n est divisible par un entier naturel  p1 × p2   autre que  1 et n.

             Conclusion:  NON.  Un nombre de Carmichaël ne peut pas être premier. 

       4. Soit n =  385 = 5 × 7 × 11 .

           n est-il un nombre de Carmichaël ?

          REPONSE :          

                 On a:

                •  385 > 2

                • 5 , 7 ,  11 sont des nombres premiers autres que 2 et

                       385 = 5 × 7 × 11.

                • Les nombres premiers qui divisent 385 sont  5 , 7 ,  11.

                     385 − 1 = 384

                     ♦ 5 − 1 = 4          Or    4 | 384        sachant    384  = 4 ×  96

                     ♦ 7 − 1 = 6          Or    6  | 560          sachant    384  = 6  ×   64

                     ♦ 11  − 1 = 10        Mais  10  ne divise pas  384  

                                                  car 384 n'est pas divisible par 5

                   Conclusion:  NON. 385 n'est pas un nombre de Carmichaël.

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