INFO TEST n° 6 LOGIQUE

cNom:  ................           Pénom: ..............                Date:   ..           Classe: BTS1

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   • Soit x dans IR. Traduire l'affirmation notée ( 1 ) suivante sans le connecteur =>.

          2 x + 3 > 0   => x   ≥ 0    

     Cela s'écrit     2 x+ 3 ≤  0   ou  x  ≥ 0   

       c-à-d       x ≤ - 3 / 2    ou    x  ≥ 0  

    • Pour quelles valeur de x l'affirmation ( 1 ) est-elle vraie?

             x ≤ - 3 / 2    ou    x  ≥ 0  

        s'écrit :

          

   • Ecrire à l'aide d'un connecteur :  ( 2x - 1 ) ( x² - 25 ) = 0    où x est dans IR.

          c-à-d          2 x - 1 = 0  ou   x² - 25 = 0 

                    x = 1 / 2     ou    x = 5      ou    x = - 5

   • Soit p , q , r trois propositions. Comparer les propositions  p ET ( q OU r ) avec

       ( p ET q )OU ( p ET r ) à l'aide du tableau de vérité.

p q r p ET q  p ET r ( p ET q )OU ( p ET r ) q OU r p ET ( q OU r )
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 1 0
0 1 0 0 0 0 1 0
0 1 1 0 0 0 1 0
1 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 0 1 1 1 1
1 1 0 1 0 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1

            Elles sont logiquement équivalentes.

     • Soit a dans IR. Donner la négation de :           2 a + 1 < 5    =>   a - 1 > 0     ( 2 )

      L'implication s'écrit   NON(  2 a + 1 < 5 )   ou  a - 1 > 0

      La négation est donc :   2 a + 1 < 5    ET  a - 1 ≤ 0

      C'est-à-dire                 a < 2  ET  a  ≤ 1

        Finalement la négation de ( 2 ) est :    a  ≤ 1

         • Soit l'application   f : IR   →   IR 

                                           x   →  2 x² - 1

           ••   f est injective ?

                   On a f qui est bien définie dans IR . Donc f est une applicationde IR dans IR.

                  NON    f  n'est pas injective.

                  Contre exemple:       f( 1 ) = 2 - 1 = 1

                                                   f( - 1 ) = 2 - 1 = 1

                                                         Or 1 ≠ - 1

                                  f ne conserve pas la distinction.

            •• f est surjective de IR sur IR ?

                        NON .  Contre exemple:

                           Soit   y = - 3

                            f( x ) = y   s'écrit      2 x² - 1 =  - 3        c-à-d    x² =  - 1   Impossible

                                - 3 n'a pas d'antécédent par f dans IR.

            • Exprimer la négation de:

               

            La négation est :     

                

           • Traduire de façon symbolique:

             Soit x un nombre réel . 

               | x - 3 | ≤ 1

               Cela s'écrit  :            3 - 1 ≤  x  ≤ 3 + 1          

                     c-à-d                      2  ≤  x  ≤ 4

                    c-à-d                   2   ≤   x   et   x  ≤ 4    

         • Montrer par récurrence que :

             Pour tout entier naturel n non nul  on a :   11n  - 1  est divisible par 5.         

                    • • Soit n = 1 .

                          Alors    11n  - 1 = 11 - 1 = 10  

                                        5 divise bien 10.

                         C'est vrai pour  n = 1

                            • • Soit n quelconque dans IN privé de 0 .

                            Montrons que si  11n  - 1  est divisible par 5   alors  11n + 1  - 1  est divisible par 5.    

                On a :   11n + 1  - 1  =  11n  ( 10 + 1 )  - 1 =  11n  ×10 + 11n   - 1

                  Comme  5 divise   11n  ×10

                             et   5 divise  11n   - 1

                         alors 5 divise  leur somme donc 5 divise  11n + 1  - 1 

                       Conclusion : Le résultat est prouvé.