INFO FEUILLE D'EX n°2 Fonction exp déc 2014

                INFO   FEUILLE D'EXERCICES     n° 2    Fonction  exp     nov- déc. 2014

    EXERCICE 1

                    Soit u une fonction définie et dérivable dans l'intervale I.

                    Montrer que la fonction  x  eu( x )    l'est également  et que 

                    sa fonction dérivée est :        x   u '( x ) eu( x )      

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      REPONSE :

             La fonction  x    eu( x )    est   la fonction composée exp ο u.

            Or :

             • La fonction u est une fonction définie et dérivable dans l'intervale I.

              • La fonction exp est  une fonction définie et dérivable dans IR.

              Donc, d'après le cours,  la fonction composée  exp ο u    est 

               définie et dérivable dans l'intervalle I.

                De plus      ( exp ο u ) ' = exp ' ο u   ×  u '      sur I 

               Mais     exp ' = exp 

               Donc    ( exp ο u ) ' = u '  × exp ο u        sur I 

                Conclusion :

           La fonction  x  eu( x )     est  définie et dérivable dans l'intervale I.

           Sa fonction dérivée est :        x  → u '( x ) eu( x )      

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    EXERCICE 2

         Montrer que:             

              456gdfr 1 

              24793gftz 2 

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        REPONSE:

      • Pour cela on ramène la question à  établir que  ex   x > 0     pour tout x dans IR.

        Il suffit de montrer que la fonction   f : x    ex   x   est strictement positive sur IR.

         On va donc étudier ses variations.

                      456hdgfr

         f est définie et dérivable dans IR comme somme de telles fonctions.

                f ' : x  →   ex −  1  sur IR

           Pour tout x dans IR    on a :

                             f '( x ) =  ex −  e0

          La fonction exp est strictement positive dans IR.

       Ainsi :        ex     e0  =  0   ssi   x = 0

                            ex     e0  >  0   c-à-d        ex    > e0       ssi   x > 0

                             ex     e0  <  0   c-à-d        ex    < e0       ssi   x < 0

                       Le tableau de variation de f est :

  x     −  ∞                         0                 +   ∞    
 f ' ( x )                 −               0       +
f ( x )                                1            ↑

             f( 0 ) = e0  − 0 = 1

    La fonction f admet sur IR un minimum  en x = 0 , qui est 1.

     Ainsi :        f  ≥  1     sur IR

     Donc         f  >  0     sur IR.

               La condition suffisante est réalisée.

            Conclusion:    

                 On a bien    e x    > x    pour tout x dans IR  

   • Même méthode.

            On montre que:    ex  −  x2  / 2   ≥ 0    pour tout  x dans IR+   .

            Pour cela on va étudier sur IR les variations de la fonction

                      g : x    ex  −  x2  / 2

                                            473vexp

             g est définie et dérivable sur IR+  comme somme de telles fonctions.

            Soit  x dans IR+ .

               On a :  

          147rzx

           Mais la fonction g '  est la fonction f  précédente

            qui était strictement positve sur IR donc sur IR+ .

           Ainsi :     g '  >  0 sur IR+  

           et

                      124epx 

     Son tableau de variation est :

  x     0               +  ∞   
 g ' ( x )    1            +
g ( x )    1            ↑

              g admet un minimum sur IR en  x = 0,  qui est 1.

      De la même façon on en déduit que g ≥ 0 sur IR+ .

     Ainsi :               ex  −  x2  / 2   ≥ 0    pour tout  x dans IR+   .

   Conclusion :        ex    ≥  x / 2    pour tout  x  dans IR+    

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    EXERCICE 3

     •   Trouver: 

                       14ex

       REPONSE:

              On a vu dans l'exercice précédent que

                     ex > x   pour tout x dans IR.

          Or

                           13ex

    Donc  :

    Conclusion :

                   12exp   

    • Trouver 

                         47jex

    On a vu  que :

                48tsdx 1

       Donc 

                        197gex

    Mais 

                        438jex

            Conclusion:

                   57dex

     • Trouver 

                  46uex

    On a : 

                    728rex

      Ainsi :

               49875rex

       Conclusion :

                   246tex

    • Trouver 

                      147utzx

      Soit x non nul  

      On a :

                   4f5d44e

       Or

                     lim − x   =   + ∞

                         x   −  ∞   

   et 

           1d5s8e

     Donc 

              75d3se

     Conclusion:

                              1114hdf

     Remarque : Le nombre dérivé en 0 de la fonction exp donne aussi une limite intéressante.

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