INFO FEUILLE D'EXERCICES n° 2 Fonction exp nov- déc. 2014
EXERCICE 1
Soit u une fonction définie et dérivable dans l'intervale I.
Montrer que la fonction x → eu( x ) l'est également et que
sa fonction dérivée est : x → u '( x ) eu( x )
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REPONSE :
La fonction x → eu( x ) est la fonction composée exp ο u.
Or :
• La fonction u est une fonction définie et dérivable dans l'intervale I.
• La fonction exp est une fonction définie et dérivable dans IR.
Donc, d'après le cours, la fonction composée exp ο u est
définie et dérivable dans l'intervalle I.
De plus ( exp ο u ) ' = exp ' ο u × u ' sur I
Mais exp ' = exp
Donc ( exp ο u ) ' = u ' × exp ο u sur I
Conclusion :
La fonction x → eu( x ) est définie et dérivable dans l'intervale I.
Sa fonction dérivée est : x → u '( x ) eu( x )
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EXERCICE 2
Montrer que:
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REPONSE:
• Pour cela on ramène la question à établir que ex − x > 0 pour tout x dans IR.
Il suffit de montrer que la fonction f : x → ex − x est strictement positive sur IR.
On va donc étudier ses variations.
f est définie et dérivable dans IR comme somme de telles fonctions.
f ' : x → ex − 1 sur IR
Pour tout x dans IR on a :
f '( x ) =