INFO LISTE 1 EX ANGLE ORIEN

INFO   LISTE D'EX SUR LES ANGLES ORIENTES               1S   JANVIER 09


      EX. 1      ( On notera O le centre du cercle trigo.  Les réels entre parenthèses sont des

                   abscisses curvilignes.)

                  Soit sur le cercle trigonométrique les points M(  2π  / 5 )   et N( -  π / 6 ).

                  1. Donner les abscisses curvilignes de M.

                  2. Le réel   22 π / 5   est-il aussi une abscisse curviligne de M ?

                  3.   Donner une mesure en radians de l'angle orienté ( vect(OM ) , vect (ON ) ).

                  4. Quelles sont les mesures en radians de l'angle orienté ( vect(OM ) , vect (ON ) )?

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   REP               1. Comme 2π  / 5 est une abscisse curviligne de M alors les abscisses curvilignes
                            de M  sont les éléments de l'ensemble:

                            Conclusion:  {  2π  / 5   + 2 k π   /    k entier relatif  }.

                         2. OUI.   

                            En effet:      22 π / 5   -  2 π  / 5  = 20 π / 5  = 2 × 2 π

                           Ce qui peut se noter :    22 π / 5   -  2 π  / 5  = 0   [ 2 π ]

                           c-à-d        22 π / 5  et   2 π  / 5   sont égaux à un multiple de 2 π  près.

                       Conclusion:    22 π / 5  est bien aussi une abscisse curviligne du point M.

                           3. Une mesure en radians de l'angle orienté ( vect(OM ) , vect (ON ) )

                                       est :     -  π / 6 - 2 π  / 5    =  -   17 π   / 30

                           Conclusion:   Une mesure en radians de l'angle orienté

                                                 ( vect(OM ) , vect (ON ) )  est     - 17 π   / 30

                         4. Les mesures en radians de l'angle orienté ( vect(OM ) , vect (ON ) )

                             sont les éléments de l'ensemble:

                               {  - 17 π   / 30  + + 2 k π   /    k entier relatif  }.

                            Conclusion:    { - 17 π   / 30    + 2 k π   /    k entier relatif  }.

                           On écrit:    ( vect(OM ) , vect (ON ) )  = - 17 π   / 30   [ 2π  ]

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         EX. 2      Donner la mesure principale d'un angle orienté dont un mesure en radians est :

                         49 π  / 8.

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 REP           1 . Il s'agit de trouver le réel  x dans ] - π , π ] tel que :  

                         49 π  / 8 =   x [  2π  ]

                      Deux méthodes sont possibles.

                      • Méthode intuitive.

                        On regarde dans  49 les multiples de  2 × 8 possibles.

                        49 = 3 ( 2 × 8  ) + 1

                        Donc  49 π  / 8  =   ( 3 ( 2 × 8 ) + 1  ) π   /  8 =   3 ( 2 × π )  + π / 8

                       49 π  / 8  =  π / 8     [ 2  π  ]

                       π / 8     est bien dans  ] - π , π ].

                     Conclusion:   La mesure principale de  49 π  / 8   est   π / 8  .

                      • Méthode générale.

                         On cherche l'entier relatif  k tel que :

                               - π  <  49 π  / 8   + 2 k  π   =<   π 

                       Cela s'écrit en multipliant par 8  et en divisant par   π :

                              - 8 < 49  + 2 k × 8 =< 8

          c-à-d         en retranchant 49

          c-à-d                - 8 - 49   < 16 k    =< 8 - 49

          c-à-d              - 57    <   16 k    =< -  41

          c-à-d                en divisant par 16

                                  - 57 / 16   <  k    =<  - 41 / 16

           On a :            - 57 / 16  ≈  - 3,56        - 41 / 16    ≈  - 2,56  

                           Donc  k = - 3

           Reportons dans        49 π  / 8   + 2 k  π 

                                   49 π  / 8   + 2 k  π   =  49 π  / 8   + 2 ( - 3 ) π   ( 49 - 48 )  π  / 8

             c-à-d                49 π  / 8   + 2 k  π   =   π  / 8

                Conclusion:  La mesure principale  est  π  / 8.      

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 EX.3          Même question avec    - 19 π  /3 .

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REP      On a :  - 19 π  / 3 = - 18π / 3  -  π / 3

      Donc         - 19 π  / 3 = -  π / 3  [ 2 π ]     avec   -  π / 3  dans ]-  π ,  π]     

    Conclusion:     - π / 3 est la mesure principale 

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  EX.4     Soit les vecteurs non nuls   vect( u )    ,  vect( v )  ,  vect( w ) tels que :

                      ( vec( u)  , vect( v ) ) = -  π  / 9   [  2 π ]

                      ( vect( u )  , vect( w )  ) = π / 4    [  2 π ]

                   Donner les mesures principales des angles orientés suivants :

                   ( vect( v )  , vect( w ) )    ;   ( - vect( u ) , vect( v ) )   ;   ( - vect( v ) , - 2 vect( w ) )

                   ( - 2 vect ( u )  , vect( w ) ) .

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  REP      On a les réponses suivantes avec la relation de Chasles et les propriétés : 

                Conclusion:

                   •   ( vect( v )  , vect( w ) ) = 13 π / 36   [ 2 π ]

                   •    ( - vect( u ) , vect( v ) ) =  8 π / 9     [ 2 π ]

 

                    •    ( - vect( v ) , - 2 vect( w ) ) = 13 π / 36   [ 2 π ]

                   •     ( - 2 vect ( u )  , vect( w ) ) =  - 3 π  / 4  [ 2 π ]

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      EX . 5            Conclusion:   On obtient  4 π  / 3

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       EX. 6              Conclusion:       On obtient  - 3 π  / 4

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