LES R.O.C 1 sur les suites

               LES DEMONSTRATIONS  pouvant faire l'objet d'un R.O.C.       TS     sept 2012

    ≡ Résultat ≡ 

            Soit deux suites ( un ) et ( vn )   définies à partir du rang n0   

             Il existe un entier q ≥ n0     tel que  pour tout entier n ≥ q   on ait  un ≤  vn  . 

             Soit  lim   un = + ∞

                     n→ + ∞

              Alors  

              lim   vn = + ∞      

              n→ + ∞

     ----------------------------------------------------------------------------

      Démonstration:

           •  Comme la suite (  un  )  diverge vers +∞ on a :

             Soit un intervalle ouvert  de la forme ] A , +∞[ quelconque.

             Il existe un entier  naturel n ' ≥ n0  tel que si l'entier n  ≥  n'   alors    un  dans  ] A , +∞[.

          •  Considérons n'' = sup( q , n ' )

             Pour tout entier n tel que n  ≥ n ''   on a  A < un  ≤  vn   

         •  Ainsi :                  

             Soit un intervalle ouvert  de la forme ] A , +∞[ quelconque.

             Il existe un entier  naturel n ''  ≥ n0  tel que si l'entier n  ≥  n''   alors    vn  dans  ] A , +∞[.

             Ce qui signifie que la suite (  vn   ) diverge vers +∞.

            Conclusion : Le résultat est avéré.

-----------------------------------------------------------------------------------------------

        ≡ Résultat ≡ 

           Soit q un nombre réel tel que q > 1.

                        Alors      

             La suite de terme général qn    définie sur IN

            diverge vers +∞

---------------------------------------------------------------------------------

           Démonstration:

              • Comme q >1  il existe un réel x > 0 tel que q = 1 + x.

              • Soit n dans IN* quelconque.

                   L'inégalité de Bernoulli s'écrit :

                                  ( 1 + x ) ≥ 1 + n x

                c-à-d           qn    ≥ 1 + n x         ( 1 ) 

            •  Mais     lim ( n x ) = + ∞              ( 2 )

                           n  → + ∞  

            •   ( 1 )  et (  2 ) entraînent     lim qn    = + ∞  

                                                          n  → + ∞ 

                 Conclusion :   Le résultat est avéré.

------------------------------------------------------------------------------     

   ≡ Résultat ≡ 

               Soit une suite croissante ( u) définie sur [[ n, + ∞ [  ,

                où n0 est un entier naturel , qui converge vers le réel L.

                                                Alors 

                         un  ≤  L    pour tout n dans  [[ n, + ∞ [ 

 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------

     Démonstration :

           Raisonnons par l'absurde.

            Supposons qu'il existe un entier q ≥ n0  tel que uq > L.

            Montrons qu'on aboutit à une contradiction.

         • Comme la suite ( u ) est croissante sur  

                   ,  entier-sup-a-n0.gif

           pour tout entier n ≥ q  on a

                                 inegalite-roc.gif  .

          •    Ainsi 

                pour tout entier n ≥ q    on a

                                      encadrement-terme.gif     

            • Tous les termes de la suite sont strictement supérieurs à L

                à partir d'un certain rang q.

                 Soit l'intervalle ouvert

                                                  intervalle-ouvert.gif

                 Il contient L .

               Pourtant aucun termes de la suite à partir du rang q  

                 n'est dans cet intervalle.

               C'est en contradiction avec

                                            limu-n.gif 

                                                              Conclusion : Le résultat est avéré  

-----------------------------