INFO EXERCICE ANGLES ORIENTES TRIGO 1S 02 / 12 / 09
EXERCICE n° 72
Résoudre dans IR chacune des équations:
a . cos x = cos 4 x
b . cos 3 x = √3 / 2
c . cos 2 x = - √2 / 2
d . cos( x / 2 ) = cos ( x + Π / 4 )
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a. Résolution de cos x = cos 4 x .
Cette équation équivaut à
x = 4 x [ 2 Π ] ou x = - 4 x [ 2 Π ]
c-à-d
3 x = 0 [ 2 Π ] ou 5 x = 0 [ 2 Π ]
c-à-d
x = 0 [ 2 Π/ 3 ] ou x = 0 [ 2 Π / 5 ]
( ATTENTION : Le modulo est à diviser. )
Conclusion:
SIR = { 2 k Π / 3 tels que k entier relatif } U { 2 k Π / 5 tels que k entier relatif }
b. Résolution de cos 3 x = √3 / 2 .
On sait que: cos Π / 6 = √3 / 2
Cette équation s'écrit donc:
cos 3 x = cos Π / 6
c-à-d
3 x = Π / 6 [ 2 Π ] ou 3 x = - Π / 6 [ 2 Π ]
c-à-d
x = Π / 18 [ 2 Π / 3 ] ou x = - Π / 18 [ 2 Π / 3]
Conclusion:
SIR = { Π / 1 8 + 2 k Π / 3 avec k dans Z } U { - Π / 18 + 2 k Π / 3 avec k dans Z }
c. Résolution de cos 2 x = - √2 / 2 .
On connait cos 3 Π / 4 = - √2 / 2 .
Cette égalité s'écrit donc :
cos 2 x = cos 3 Π / 4
c-à-d
2 x = 3 Π / 4 [ 2 Π ] ou 2 x = - 3 Π / 4 [ 2 Π ]
c-à-d
x = = 3 Π / 8 [ Π ] ou x = - 3 Π / 8 [ Π ]
Conclusion:
SIR = { 3 Π / 8 + k Π avec k dans Z } U { - 3 Π / 8 + k Π avec k dans Z } d. Résolution de cos( x / 2 ) = cos ( x + Π / 4 ). Cette égalité s'écrit : x / 2 = x + Π / 4 [ 2 Π ] ou x / 2 = - ( x + Π / 4 ) [ 2 Π ] c-à-d x - x / 2 = - Π / 4 [ 2 Π ] ou x / 2 = - x - Π / 4 [ 2 Π ] c-à-d
x / 2 = - Π / 4 [ 2 Π ] ou 3 x / 2 = - Π / 4 [ 2 Π ] c-à-d en multipliant par 2 x = - Π / 2 [ 4 Π ] ou 3 x = - Π / 2 [ 4 Π ] c-à-d x = - Π / 2 [ 4 Π ] ou x = - Π / 6 [ 4 Π / 3 ] Conclusion: SIR = {- Π / 2 + 4 k Π avec k dans Z } U { - Π / 6 + 4 k Π /3 avec k dans Z } -------------------------------------------------------------------------