INFO EX 72 ANGLES ORIEN.TRIGO

           INFO  EXERCICE   ANGLES  ORIENTES  TRIGO       1S         02 / 12 / 09

            EXERCICE  n° 72

            Résoudre dans IR chacune des équations:

               a .    cos x = cos 4 x

               b .     cos 3 x =  √3  / 2

               c .     cos 2 x = - √2  / 2

               d .    cos( x / 2 ) = cos ( x +  Π / 4 )

---------------------------------------------------------

             a. Résolution de  cos  x   = cos 4 x .

                Cette équation équivaut à 

                                  x  = 4 x   [ 2 Π ]   ou    x  = - 4 x   [ 2 Π ] 

                  c-à-d  

                             3 x = 0   [ 2 Π ]   ou    5 x = 0   [ 2 Π ] 

                  c-à-d

                                x = 0    [ 2 Π/ 3 ]   ou    x = 0    [ 2 Π / 5 ] 

                      ( ATTENTION :  Le modulo est à diviser. )

             Conclusion:

         SIR  = { 2 k Π / 3   tels que k entier relatif } U   { 2 k Π / 5   tels que k entier relatif }

            b. Résolution de  cos 3 x =  √3  / 2   .

                     On sait que:   cos  Π / 6 = √3  / 2 

                         Cette équation s'écrit donc:

                                            cos 3 x   = cos Π / 6

                    c-à-d   

                        3 x = Π / 6   [ 2 Π ]    ou    3 x = - Π / 6   [ 2 Π ] 

                    c-à-d

                           x = Π / 18   [ 2 Π / 3 ]    ou    x = - Π / 18   [ 2 Π  / 3] 

                   Conclusion:

     SIR  = { Π / 1 8  + 2 k Π / 3  avec k dans Z } U { - Π / 18 + 2 k Π / 3   avec k dans Z }

        c. Résolution de  cos 2 x = - √2  / 2 .

              On connait  cos  3 Π / 4  = - √2  / 2 .

            Cette égalité s'écrit donc :

                     cos 2 x = cos  3 Π / 4 

               c-à-d 

                   2 x 3 Π / 4     [ 2 Π ]    ou  2 x = -   3 Π / 4     [ 2 Π ]

               c-à-d

                  x = =  3 Π / 8    [ Π ]    ou   x = -  3 Π / 8    [  Π ]

                  Conclusion:

     SIR  = { 3 Π / 8  +  k Π   avec k dans Z } U { - 3 Π / 8 +  k Π   avec k dans Z }

        d. Résolution de   cos( x / 2 ) = cos ( x +  Π / 4 ).

                   Cette égalité s'écrit :

    x / 2  =  x +  Π / 4   [ 2 Π ]      ou     x / 2  = - (  x +  Π / 4  )  [ 2 Π ]   

                     c-à-d

    x - x / 2  =  -  Π / 4   [ 2 Π ]      ou     x / 2  = -  x  - Π / 4    [ 2 Π ]   

                      c-à-d

     x / 2  =  -  Π / 4   [ 2 Π ]      ou      3 x / 2  =   - Π / 4    [ 2 Π ]   

                      c-à-d     en multipliant par  2

       x  =  -  Π / 2  [ 4 Π ]      ou      3 x  =   - Π / 2    [ 4 Π ]   

                      c-à-d  

       x  =  -  Π / 2  [ 4 Π ]      ou       x  =   - Π / 6    [ 4 Π / 3 ]   

       Conclusion:

     SIR  = {- Π / 2  +  4 k Π   avec k dans Z } U { - Π / 6 +  4 k Π /3  avec k dans Z }

-------------------------------------------------------------------------