INFO TEST DE LOGIQUE 15/11/2005

     N0M:  ........            PRENOM: .......        Date:  15 / 11 / 2005       Classe:  BTS1 B  

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  • Soit p, q deux propositions.

      Comparer les quatre propositions suivantes :

       NON( p ) ET NON( q )           NON( p OU q)          

      NON( p ) OU NON( q )            NON( p ET q ) 

p OU q  p ET q  NON( p OU q ) NON( p ET q ) NON(p) OU NON(q) NON(p) ET NON(q) NON(p)    NON(q)             
0 0    0    0        1                       1           1                                  1                            1    1  
0 1    1     0         0                       1            1                                  0                           1     0   
1 0    1     0         0                       1            1                                  0                           0     1   
1 1    1     1         0                       0            0                                  0                            0      0   

   ( Lois de Morgan )      NON( p ) ET NON( q )     équivaut à      NON( p OU q)  

                                      NON( p ) OU NON( q )     équivaut à       NON( p ET q )   

 • Soit la propriété définie dans IR:

        2 x - 1 >  2    =>  5 - x  ≥ 0     où x est dans IR

     Arriver par des équivalences logiques à l'ensemble solution.

    c-à-d     2 x - 1 ≤  2    OU      5 - x  ≥ 0     où x est dans IR

    c-à-d     2 x ≤  3     OU     5  ≥  x    où x est dans IR

    c-à-d     x ≤  3 / 2     OU   x   ≤      où x est dans IR

   c-à-d        x   ≤  5      où   x  est dans IR

            Conclusion :    SIR  = ] - ∞ , 5 ]   

  •Traduire avec des quantificateurs la  phrase suivante:

    " Pour tout réel x  il existe un réel positif ou nul y tel que y < 2x "

       On a :           formesymb.gif

     Puis en donner la négation .

     C'est       formesymb2.gif


Compléter le tableau de vérité où p , q , r  sont des propositions.

   Que pouvez vous en conclure? 

p q r q OU r p ET q  p ET r   p ET ( q OU r ) ( p ET q ) OU ( p ET r) 
 0  0   0 0  0  0  0
 1   1  0  0  0
 0   1   0   0
0  1  1  0  0   0
 1  0   0  0
 1  0  1  1   1   1 
 1  1  0  1   1
 1  1   1   1 

   On remarque que p ET ( q OU r )  équivaut à ( p ET q ) OU ( p ET r ) .

   •Donner la négation de  ( 3 x + 2 , x + 1 ) = ( 4 ; 2 )   x est un réel

    en présentant une condition sur x   avec un connecteur.

   C'est      3 x + 2 ≠ 4     OU     x + 1  ≠ 2    

   c-à-d      3x  ≠ 2    OU     x   ≠ 1

   c-à-d      ≠  2 / 3    OU     x   ≠ 1

 Soit  p , q sont deux propositions. Comparer avec le tableau:

   p ET ( p OU q )      p         p ET q          p OU ( p ET q )

p    q             p ET q          p OU q                   p OU ( p ET q )             p ET ( p OU q )                           
0 0          0         0            0                     0        
0 1          0          1            0           0       
1 0          0          1            1           1      
1 1          1          1            1            1       

  On constate que    p ET ( p OU q )  ,     p          ,          p OU ( p ET q )  sont équivalentes 

 •  Soit la propriété:

        5x + 1 > 0  OU  ( x - 5 ≤ 0   ET   x + 3 > 0 )       où x est dans IR 

       Traduire autrement la propriété .

   C'est      5x > - 1  OU  ( x  ≤ 5   ET   x  > - 3  )       où x est dans IR 

   c-à-d      x > - 1 / 5   OU       - 3  < x  ≤   5         où x est dans IR 

  c-à-d       - 1 / 5  < x   OU     - 3  < x  ≤   5         où x est dans IR 

      Donner l'ensemble solution.

    c-à-d   encore     - 3  < x

    Conclusion :   SIR = ] - 3 , + ∞ [  

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