BTS Oct. 2008
CORRECTION DES EXERCICES SUR LES VAR .
1. EX . La fabrication de transistors comporte 5% de transistors défectueux. En utilisant une v.a.r. X , qui indique le nombre de transistors défectueux , dans un lot de 10 transistors calculer: 1. La probabilité P ( x = 2 ). 2. P( X ≥ 2 ) . Reprendre le travail en considérant ,à présent, une variable Y de loi de Poisson. INFORMATION
• Première interprétation : X est une v.a.r de loi binomiale B( 10 ; 0,05 ). C'est logique car on peut estimer que l'on répète 10 fois de façon indépendante une épreuve de Bernoulli dont les deux issues sont : "Défectueux" de probabilité 0,05 " Non Défectueux" de probabilité 0,95. X indique le nombre de " défectueux" parmi les dix considérés. 1. P( X = 2 ) = C102 0,052 0,958 . P( X = 2 ) ≈ 0,0746 2. P( X ≥ 2 ) = 1 - P( X < 2) = 1 - P( X = 0 ) - P( X = 1 ) P( X ≥ 2 ) = 1 - C100 0,050 0,9510 - C101 0,05 0,959 P( X ≥ 2 ) ≈ 0,0861 E ( X ) = 10 × 0,05 = 0,5 •Seconde interprétation. Y est de loi de Poisson de paramètre λ = 0,5 Elle ne peut venir qu' après la première interprétation. ( En principe 10 n'est pas assez grand pour cette interprétation.) On prend pour le paramètre λ la valeur de E( X ). 1. Dans la table colonne λ = 0,5 on lit à la ligne k = 2 la valeur de P( Y = 2 ). P( Y = 2 ) ≈ 0,0758
2. De la même façon P( Y ≥ 2 ) = 1 - P( Y = 0 ) - P( Y = 1 ) . P( Y ≥ 2 ) ≈ 1 - 0,6065 - 0,3033 ≈ 0,0902
k \ λ
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0
0,8187
0,7408
0,6703
0,6065
0,5488
1
0,1637
0,2222
0,2681
0,3033
0,3293
2
0,0164
0,0333
0,0536
0,0758
0,0988
| k \ λ | 0,2 | 0,3 | 0,4 | 0,5 | 0,6 |
| 0 | 0,8187 | 0,7408 | 0,6703 | 0,6065 | 0,5488 |
| 1 | 0,1637 | 0,2222 | 0,2681 | 0,3033 | 0,3293 |
| 2 | 0,0164 | 0,0333 | 0,0536 | 0,0758 | 0,0988 |
P( Y ≥ 2 ) ≈ 0,0902 Chacune des probabilités à retrancher se trouve dans la table.
2. EX On a constaté que dans un parking, l'arrivée des voitures est en moyenne
de deux par minute et qu'elle suit une loi de Poisson . Quelle est la probabilité de voir 4 voitures arriver en une minute? INFORMATION EX 2.
En moyenne 2 par minute s'interpète comme l'espérance est 2. Or pour une v.a.r Y de loi de Poisson l'espérance est le paramètre λ > 0 . Donc λ = 2 . On veut P ( Y = 4 ). Par simple lecture de la table on a: P( Y = 4 )≈ 0,090 3 . EX Une banque propose le livret A à ses nombreux clients en ces temps de crise. 10% de sa clientèle a adopté le livret A. Partie A Un sondage est effectué auprès de 10 clients de la banque par téléphone. Soit X le nombre de clients sondés qui ont adopté le livret A. 1. Quelle loi suit X ? Donner ses paramètres. 2. Quelle est la probabilité qu'au moins deux clients sondés aient adopté le livret A ? Partie B Un mois après la banque effectue un sondage téléphonique auprès de 30 de ses clients. Soit X le nombre de clients sondés qui ont adopté le livret A. 1. Préciser la loi de X . Donner le nombre moyen de clients sondés ayant adopté le livret A. 2. La banque décide d'approcher X par une variable aléatoire Y de loi de Poisson. a. Préciser le paramètre λ ( λ > 0 ) de cette loi de Poisson. b. Calculer en utilisant la nouvelle variable aléatoire Y de loi de Poisson , la probabilité d'avoir au moins deux clients sondés ayant adopté le livret A.
INFORMATION EX 3 Partie A 1. Loi de X. Comme on répète , en sondant 10 personnes, de façon indépendante 10 fois une épreuve de Bernoulli comportant deux issues , " Livret A" de probabilité 0,10 et " Pas de Livret A" de probabilité 0,90 , la v.a.r X qui donne le nombre de " Livret A" est de loi binomiale B ( 10 ; 0,10 ). 2. Calcul de P( X ≥ 2 ).
On a: P( X ≥ 2 ) = 1 - P( X < 2 ) c-à-d P( X ≥ 2 ) = 1 - P( X = 0 ) - P( X = 1 ) c-à-d P( X ≥ 2 ) = 1 - C100 0,100 × 0,9010 - C 101 0,10 × 0,909 c-à-d P( X ≥ 2 ) ≈ 0,2639 Partie B
1. Loi de X. Comme on répète , en sondant 30 personnes, de façon indépendante 30 fois une épreuve de Bernoulli comportant deux issues , " Livret A" de probabilité 0,10 et " Pas de Livret A" de probabilité 0,90 , la v.a.r X qui donne le nombre de " Livret A" est de loi binomiale B ( 30 ; 0,10 ). Le nombre moyen de clients sondés ayant adopté le Livret A est l'espérance E( X ) = 30 × 0,10 = 3 E(X ) = 3 2. a. Détermination du paramètre λ > 0 de la loi de Poisson de Y. Comme on décide d'approcher X par une v.a.r Y de loi de Poisson de paramètre λ > 0 , donc d'espérance λ , on prend λ = E( X ) c-à-d λ = 3 . b. Calcul de P( Y ≥ 2 ) On a P( Y ≥ 2 ) = 1 - P( Y = 0 ) - P( Y = 1 ) c-à-d P( Y ≥ 2 ) ≈ 1 - 0,050 - 0,149 c-à-d P( Y ≥ 2 ) ≈ 0,8010 On lit dans la table de Poisson les deux probabilités à retrancher.
k \ λ
1
1,5
2
0
0,368
0,223
0,135
1
0,368
0,335
0,271
2
0,184
0,251
0,271
3
0,061
0,126
0,180
4
0,015
0,047
0,090
k \ λ
1
1,5
2
3
0
0,368
0,223
0,135
0,050
1
0,368
0,335
0,271
0,149