INFO DEBUT EX 4 BAC JUIN 2012

                                                INFO EX 4 BAC   JUIN 2012

            EXERCICE 4              5 POINTS  

                                    Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité


                  Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct

                  reporthon.jpg .

                   On appelle f  l'application qui à tout point M d'affixe z différente de - 1 , fait correspondre

                  le point M ' d'affixe

                  quotient-ex-bac.jpg .

                  Le but de l'exercice est de déterminer l'image par f de la droite D d'équation  x = - 1/ 2 .

                  1. Soient  A , B et C les points d'affixes respectives 

                       affixes-ex-bac.jpg

                      a. Placer les trois points A , B et  C  sur une figure que l'on fera sur la copie en prenant 

                           2 cm comme unité graphique.                              

                               repbis-bac-juin.jpg


                       b. Calculer les affixes des points  A' = f ( A ), B ' = f ( B ), C ' = f ( C ), et placer

                              les points A ' , B '  et  C ' sur la figure.

                                 zA' = 1 / ( - 0,5 +1) =  1/ 0,5 = 2                zA'  = 2 

                                 zB'  = 1 / ( - 0,5 + i + 1) =  1 / ( 0, 5 + i ) = ( 0, 5 - i )/ (0,5² + 1² ) =  ( 0, 5 - i )/ 1,25

                                                                                            zB'   =  0,4 - 0,8 i  

             zC'  = 1 / ( - 0,5 - 0, 5 i +1 ) = 1 / ( 0,5 - 0,5i ) =  2 / ( 1 - i ) = 2 (  1 + i ) / ( (1)² +(-1)² )

                                                                                            zC'  =  1 + i  

                               fig3-bac-juin-2.jpg                  

      c. Démontrer que les points A' , B ' et C ' ne sont pas alignés.

              L'affixe du vect( A' B' ) est :                 0,4 - 0,8 i  - 2 = - 1,6 - 0,8 i 

              L'affixe du vect( A' C' ) est :                 1 + i - 2 = - 1 + i   

                      Soit α un réel .    

                     l'égalité   vect( A' B' ) = α vect( A' C' )  se traduit par  - 1 = - 1,6  α

                                                                                                        1 = - 0,8  α

                                                                                            c-à-d     α = 1 / 1,6

                                                                                                         α = - 1/ 0,8

                                                                                                        Impossible

                   Conclusion : OUI .   A ' , B ' et C ' ne sont pas alignés.

        2. Soit g la transformation du plan qui, à tout point M d'affixe z, fait correspondre le point

            M1 d'affixe z + 1.

       a. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation g.

            L'affixe du vecteur

             vec-ex-bac.jpg     

             est:    z + 1 - z = 1.

                      Conclusion: g est donc la translation de vecteur

                         vec-bac.jpg.

            b. Sans donner d'explication, placer les points A1 , B1 et C1 , images respectives par g

                de A , B et C et tracer la droite D1 , image de la droite D par g.

                                                               sans-titre-1.jpg                                      

           c. Démontrer que D1 est l'ensemble des points M d'affixes z telles que | z - 1 | =| z |.

               •Soit le point I d'affixe 1.  La droite D: x = - 1/ 2 est de vecteur directeur

                   vect-v.jpg 

                  et passe par le point A d'affixe  zA   = - 1/ 2.

                  Son image par la translation g de vecteur

                     vec-bac.jpg

                   est  donc la droite d'équation x = 1/ 2 , perpendiculaire  à l'axe des abscisses 

                  et passe par le point

                                     aun-bac-juin.jpg

                   d'affixe 1 / 2  milieux du segment [ 0I ].

                        Ainsi la droite

                         dun-bac-juin.jpg

                      est la médiatrice de [OI].

                  • Par ailleurs :

                            | z - 1 | =| z |  s'écrit | z - 1 | =| z- 0 |

                     c-à-d      IM =OM   

                  L'ensemble des points M d'affixes z telles que | z - 1 | =| z |  est 

                  donc ma médiatrice du segment [OI ].

                        Conclusion : L'ensemble des points  M du plan

                                                          d'affixes z telles que | z - 1 | =| z |  est 

                                                dun-bac-juin.jpg.

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