EXERCICES SUR LES SUITES 1S1 17/04/10
EXEMPLE ( Récurrence ) ( Fait en classe le samedi 17 avril 2010 )
Soit la suite ( u ) définie sur IN par:
u0 = 2
un + 1 = √ ( un + 2 ) pour tout n dans IN.
A-t-on un ≥ 2 pour tout n dans IN ?
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Réponse:
OUI. Montrons le par récurrence sur IN.
• Soit n = 0 ( AMORCE )
On a : u0 = 2
Ainsi : u0 ≥ 2
• Soit n un entier naturel quelconque non connu. ( Caractère héréditaire )
Montrons que : un ≥ 2 implique un+ 1 ≥ 2
Il sufit pour cela de considérer:
On a : un ≥ 2 ( 1 )
On veut : un+ 1 ≥ 2 ( 2 )
Considérons ( 1 ).
un ≥ 2
Donc un + 2 ≥ 2 + 2
Mais la fonction √ est croissante sur les réels positifs.
D'où
√ ( un + 2 ) ≥ √ 4
c-à-d
un + 1 ≥ 2
On a bien ( 2 ).
L'implication est avérée.
Conclusion : On a bien
un ≥ 2 pour tout n dans IN
( En fait ici la suite ( u ) est constante. Tous ses tetmes sont égaux à 2 . )
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EXERCICE ( Donné en classe pour le 5 mai 2010. )
Soit la suite ( u ) définie sur IN par :
u ( n ) = ( n - 1 ) / ( n + 1 ) pour tout n dans IN.
Montrer que l'on peut trouver deux réels m et M tels que
m ≤ u ( n ) ≤ M pour tout n dans IN.
( c-à-d La suite ( u ) est bornée sur IN. )
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Réponse:
Soit n dans IN.
On a :
u ( n ) = ( n - 1 ) / ( n + 1 )
c-à-d u ( n ) = [ ( n + 1 ) - 2 ] / ( n + 1 )
u ( n ) = 1 - 2 / ( n + 1 )
• Recherche d'un réel M. ( Il n'y a pas unicité )
On a : - 2 / ( n + 1 ) < 0 pour tout n dans IN.
Donc 1 - 2 / ( n + 1 ) < 1 pour tout n dans IN.
Ainsi u ( n ) < 1 pour tout n dans IN.
M = 1 convient.
• Recherche d'un réel m. ( Il n'y a pas unicité )
• • Comme ( n - 1 ) ≥ 0 et n + 1 > 0 pour tout n dans IN* on a :
( n - 1 ) / ( n + 1 ) ≥ 0 pour tout n dans IN*.
• • De plus : u( 0 ) = - 1
Ainsi : u( n ) ≥ - 1 pour tout n dans IN.
m = 1 convient
Conclusion : - 1 ≤ u ( n ) ≤ 1 pour tout n dans IN.