EX DE SUJET BTS MATRICE- SUITE

                         EXERCICE SUR LES MATRICES ET SUITES DE SUJET DE BTS    Nov. 2010

             EXERCICE 1

                      Dans cet exercice, n désigne un  entier naturel non nul.

                      M étant une matrice carrée, on pose M1 = M  ×et , pour tout n, Mn + 1  = M × Mn  .

              1. Une suite u est définie par u1 = 1  et pour tout n,   un +1 = 1 + 2 un   .

                   a. Calculer  u2    et  u3    .

                   b. Soit la suite v définie pour tout n  par   vn = 1 + un   .

                       Montrer que v est une suite géométrique dont on précisera

                       la raison et le premier terme  v1  .

                   c. Calculer  vn   puis un    en fonction de  n .

                2. On considère les matrices:

                                            et       

                   a . Calculer les matrices A² et  B = I + A . En déduire que B × A= 2 A.

                   b. On admet que pour tout entier n  non nul , il existe un réel an   tel que 

                         Bn = I  +  an  A.            

                        Exprimer   Bn + 1   en fonction de I , A et  an+1   .                    

                        En remarquant que   Bn +1    =  B  ×    Bn     exprimer     Bn +1    

                         en fonction  de I , A et  an  .

                        En déduire que pour tout entier naturel non nul  n  ,   an+1 = 1 + 2  an  .

                    3.  En utilisant  les résultats de la question 1 exprimer   an en fonction de n . 

                         Déduire des questions précédentes l'expression de   Bn   en fonction de n  , A et I.

----------------------------------------------------