EXERCICE SUR LES MATRICES ET SUITES DE SUJET DE BTS Nov. 2010
EXERCICE 1
Dans cet exercice, n désigne un entier naturel non nul.
M étant une matrice carrée, on pose M1 = M ×et , pour tout n, Mn + 1 = M × Mn .
1. Une suite u est définie par u1 = 1 et pour tout n, un +1 = 1 + 2 un .
a. Calculer u2 et u3 .
b. Soit la suite v définie pour tout n par vn = 1 + un .
Montrer que v est une suite géométrique dont on précisera
la raison et le premier terme v1 .
c. Calculer vn puis un en fonction de n .
2. On considère les matrices:
et
a . Calculer les matrices A² et B = I + A . En déduire que B × A= 2 A.
b. On admet que pour tout entier n non nul , il existe un réel an tel que
Bn = I + an A.
Exprimer Bn + 1 en fonction de I , A et an+1 .
En remarquant que Bn +1 = B × Bn exprimer Bn +1
En déduire que pour tout entier naturel non nul n , an+1 = 1 + 2 an .
3. En utilisant les résultats de la question 1 exprimer an en fonction de n .
Déduire des questions précédentes l'expression de Bn en fonction de n , A et I.
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