LISTE 3 D'EX. SUR LA DERIVATION 1S Mercredi 26 Nov. 08
EX .1 Donner Df , Dd et la fonction dérivée de la fonction:
f : x→ x cos x
( On pourra utiliser le résultat de cours :
" Les fonctions cos et sin sont définies et dérivables dans IR.
De plus cos ' = - sin et sin ' = cos sur IR. " )
REP. Soit les fonctions u : x→ x et v : x→ cos x
Elles sont définies et dérivables dans IR.
f = u v sur IR.
Ainsi u v , c-à-d f , est définie et dérivavle dans IR.
On a : f ' = ( u v ) ' = u ' v + u v ' sur IR.
On a : u ' : x→ 1 et v ' : x→ - sin x
Soit x dans IR.
On a : f '( x ) = 1 cos x + x ( - sin x )
Conclusion: Df = IR et Dd = IR
f ' : x→ cos x - x sin x sur IR.
EX. 2 Donner Dg , Dd et la fonction dérivée de la fonction:
g : x→ 4 x3 + x2 - 3 x + 2
REP. La fonction g est une fonction polynôme . Elle est donc définie et dérivable dans IR. Soit x dans IR . On a : g '( x ) = 4 × 3 x3 - 1 + 2 x2 - 1 - 3 c-à-d g '( x ) = 12 x2 + 2 x - 3 Conclusion: Dg = IR et Dd = IR. g ' : x → 12 x2 + 2 x - 3 ------------------------------------------------------------------------------------
EX.3 Donner Dh , Dd et la fonction dérivée de la fonction:
h : x → ( 2 x - 3 ) / ( 1 - x )
REP . Soit les fonctions u : x → 2 x - 3 et v : x → 1 - x .
u et v sont définies et dérivables dans IR.
v est non nulle dans IR- { 1 }.
f = u / v
Donc u / v , c-à-d f , est définie et dérivable dans IR- { 1 }.
On a : f ' = ( u / v ) ' = ( v u ' - u v ' ) / v2 sur IR- { 1 }.
On a : u ' x → 2 v ' x → - 1
Soit x dans IR- { 1 } .
On a : f ' ( x ) = ( ( 1 - x ) 2 - ( 2 x - 3 ) ( -1 ) ) / ( 1 - x )²
c-à-d f '( x ) = ( 2 - 2 x + 2 x - 3 ) / ( 1 - x )²
c-à-d f '( x ) = - 1 / ( 1 - x )²
Conclusion: Df = IR- { 1 } Dd = IR- { 1 } .
f ' : x → - 1 / ( 1 - x )²
EX.4 Donner Df , Dd et la fonction dérivée de la fonction:
f : x → ( 3 x² - x + 1 )²
REP . Soit la fonction u : x → 3 x² - x + 1
u est définie et dérivable dans IR comme
fonction polynôme.
f = u²
Donc la fonction u² , c- à-d f , est définie et dérivable dans IR.
De plus on a : f ' = ( u ² ) ' = 2 u u ' sur IR.
On sait: u ' : x → 3 × 2 x - 1
c-à-d u ' : x → 6 x - 1
Soit x dans IR .
On a : f '( x ) = 2 ( 3 x² - x + 1) ( 6 x - 1 )
Conclusion: Df = IR Dd = IR .
f ' : x → 2 ( 3 x² - x + 1) ( 6 x - 1 )
EX.5 Donner Dg , Dd et la fonction dérivée de la fonction:
g : x → √ x / ( x + 1 )
REP. Soit les fonctions u : x → √ x et v : x→ x + 1 .
u et v sont définies sur IR+ .
u et v sont dérivables sur IR+• .
v est non nulle sur IR+• .
On a: g = u / v
u / v , c-à-d g , est donc définie dans IR+ et dérivable dans IR+• .
On a : g ' = ( u / v ) ' = ( v u ' - u v ' ) / v²
On a : u ' : x→ 1 / ( 2 √ x ) et v ' : x → 1
Soit x dans IR+• .
g '( x ) = ( ( x + 1 ) ( 1 / ( 2 √ x ) ) - (√ x ) 1 ) / ( x + 1 )²
c-à-d g '( x ) = ( ( x + 1 ) / ( 2 √ x ) - √ x ) / ( x + 1 )²
On réduit au même dénominateur en haut.
g '( x ) = ( [ ( x + 1 ) - √ x ( 2 √ x ) ] / ( 2 √ x ) ) / ( x + 1 )²
c-à-d g '( x ) = [ ( x + 1 ) - (√ x ) ( 2 √ x ) ] / ( ( 2 √ x ) ( x + 1 )² )
c-à-d g '( x ) = ( x + 1 - 2 x ) / ( ( 2 √ x ) ( x + 1 )² )
c-à-d g '( x ) = ( 1 - x ) / ( ( 2 √ x ) ( x + 1 )² )
Conclusion: Dg = IR+ et Dd = IR+• .
g ' : x→ ( 1 - x ) / ( ( 2 √ x ) ( x + 1 )² )
EX. 6 Donner Dh , Dd et la fonction dérivée de la fonction:
h : x→ tan x
c-à-d h : x→ sinx / cos x
( On pourra utiliser : cos² x + sin² x = 1 pour tout réel x.
De plus la fonction cos s'annule quand x est de la forme ( π / 2 )+ k π
avec k entier relatif.
REP . Les fonctions sin et cos sont définies et dérivables dans IR.
cos x est non nulle quand x n'est pas égal
à π / 2 à un multiple de π près.
( Autrement dit sur le cercle trigo. on est ni en haut ni en bas . )
c-à-d cos x ≠ 0 ssi x est dans
IR - { ( π / 2 ) + k π tel que k soit un entier relatif }.
On a h = sin / cos .
Donc h est définie et dérivable dans
IR - { (π / 2) + k π tel que k soit un entier relatif }.
h ' = ( sin / cos ) ' = ( cos sin ' - sin cos ' ) / cos²
Soit x dans IR - { (π / 2 )+ k π tel que k soit un entier relatif }.
h '( x ) = ( cos x cos x - sin x ( - sin x ) ) / ( cos x )²
c-à-d h '( x ) = ( cos² x + sin² x ) / ( cos x )²
sachant la formule trigo de base :cos² x + sin² x = 1
c-à-d h '( x ) = 1 / ( cos x )²
Conclusion : Dh = Dd = IR - { (π / 2 )+ k π tel que k soit un entier relatif }.
h' : x → 1 / ( cos x )²