SUJET BAC BLANC 12 fév 2015

                        BAC BLANC    TS1   du 12 février 2015

        EXERCICE 1

             On considère la suite numérique ( un ) définie sur IN par:

               Bl3

     Partie A   conjecture.

    1.Calculer les vaeurs exactes de u1 et u2.   

    2. Donner une valeur approchée de u3 et u4   à 10 − 5   près .          

    3. Conjecturer le sens de variation et la convergence de la suite ( un ).        

       Partie B . Validation des conjectures.

              On considère la suitee numérique ( vn ) définie pour tout entier naturl n , par :

                     vn   = un − 3

           1. Montrer que, pour tout entier naturel n,  vn + 1 = − 0,5 ( v)2  .                  

           2. Démontrer par récurrence que , pour tout entier naturel n , 

                    −  1  ≤  vn  ≤  0         

           3.a. Démontrer que , pour tout entier naturel n , 

                  Waz1   

             b. En déduire le sens de variation de la suite ( vn ).         

           4. Pourquoi peut-on affirmer que la suite (  v ) converge?          

           5. On note L la limite de la suite ( vn ) .

               On admet que L appartient à l'intervalle [ − 1 , 0 ]

               et vérifie L = − 0,5 L 2  

              Déterminer la valeur de l.              

           6. Les conjectures faites dans la partie A sont-elles validées?                

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                  EXERCICE 2 

Partie A
On considère la fonction f définie et dérivable sur l’intervalle [0 ; +∞[  par f (x) = x e− x.
1. Déterminer la limite de la fonction f en +∞.                                      

2. Déteminer la dérivée f ' de la fonction f sur [ 0 , +∞ [ et 

       en déduire le tableau de variation de f sur  [0 ; +∞[.       

On donne en annexe la courbe Cf représentative de la fonction f dans un repère

 du plan. La droite ∆ d’équation y = x a aussi été tracée.

Karzpo789

PARTIE B

          Soit la suite ( un ) définie par u0 = 1  et pour tout entie naturel n , un + 1 = f( un )

 1. Placer sur le graphique donné en annexe , en utilisant la courbe de Cf et la droite Δ,

     les points A0 , A1 ,  et A2   d'ordonnées nulles et d'abscisses respectives u0 , u1 et u2 .

     Laisser les tracés explicatifs apparents.              

 2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n , un > 0.

 3. Montrer que la suite ( un ) est décroissante.    

 4. a. Montrer que la suite ( un ) est convergente. 

     b. On admet que la limite de la suite (un) est solution de l’équation x e− x = x.

        Résoudre une équation pour déterminer la valeur de cette limite.         

PARTIE C
On considère la suite (Sn) définie pour tout entier naturel n par:

Sn = u0 +u1 +... +un
compléter l'algorithme donné en annexe afin de calculer S100 .

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Déclaration des variables :          S et u sont des nombres réels
                                                    k est un nombre entier
Initialisation :                               u prend la valeur    ........   
                                                    S prend la valeur   .......   
Traitement :                                 Pour k variant de 1 à 100
                                                             u prend la valeur u ×e−u
                                                             S prend la valeur  ........
Fin Pour
Afficher S

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      EXERCICE 3

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé 
     Evze14
Pour tout entier naturel n, on note An le point d’affixe zn défini par :

           z0 = 1   et  zn+1 = ( ( 3 / 4 )  + i ( √ 3 / 4 )  ) zn

On définit la suite (rn) par rn = |zn| pour tout entier naturel n.
1. Donner la forme exponentielle du nombre complexe ( 3 / 4 ) + i (√3 / 4 )       

2. a.Montrer que la suite ( r ) est géométrique de raison  √ 3 / 2. 

    b. En déduire l'expression de rn  en fonction de n.  

    c.Que dire de la longueur OA  quand n tend vers + ∞ ?

3. a.On considère l'algorithme suivant :

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          Variables:             n entier naturel 

                                       R réel

                                       P réel strictement positif

            Entrée :             Demander la valeur de P

            Traitement :      R prend la valeur 1 

                                     n prend la valeur 0 

                                     Tant que   R > P

                                             n prend la valeur n + 1

                                             R prend la valeur  (√3 / 2) R

                                     Fin tant que

           Sortie                 Afficher n

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   a. Quelle est la valeur affichée par l'algorithme pour P= 0,5 ? 

   b. Pour P = 0,01 on obtient n = 33. quel est le rôle de cet algorithme. 

4. a. Démontrer que le triangle  OAn An+1.  est rectangle en  An+1.  

    b. On admet que zn = rn eπ i / 6  .

        Déterminer les valeurs de n pour lesquelles A est un ponit de l'axe des ordonnées.

    c. Compléter la figure donnée en annexe, à rendre avec la copie,

        en représentant les points  A ,A7 ,A8 ,A9 .  

        Les traits de construction seront apparents.

                Karzpo7891

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 EXERCICE 4 

Soient f et g les fonctions définies sur R par
f (x) = ex    et

Ze1wcv4  

On note Cf et Cg les courbes représentatives des fonctions

 f et g dans un repère orthogonal.                       

1. Démontrer que les courbes  Cf et Cg ont un point commun

    d'abscisse 0. et qu'en ce point , elles ont la même tangente Δ 

   dont on déterminera une équation.

2. Étude de la position relative de la courbe Cg et de la droite ∆.
         Soit h la fonction définie sur R par:

             Kwez1279   

   a.Déterminer la limite de la fonction h en −∞.          

   b.Justifier que pour tout réel x ,

         Weter45

        En déduire la limite de la fonction h en +∞ .

   c. On note h ' la fonction dérivée de la fonction h sur IR.

       Pour tout réel x calculer h' (x ) et étudier le signe de h' (x )

       suivant les valeurs de x.        

    d. Dresser le tableau de variation de la fonction h sur IR   

    e. En déduire que , pour tout réel x ,   

                       Qew25

 

    f. Que peut-on en déduire quant aux positions relatives

     de la courbe Cg et de la droite Δ?

3. Etude des positions relatives des courbes Cf et Cg.

        a. Pour tout réel x, développer l'expression

                        47zamoei4689

        b. Déterminer la position relative des courbes Cf et Cg.

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