INFO DV n ° 4 Spé Maths TS

                             INFO  DV n ° 4 de Spé maths.          28 nov. 2016

          EXERCICE 

       A chaque instant, le lièvre peut aller, au choix, sur l'un des deux sommets qu'il n'occupe

       pas avec la même probabilité pour chacun.

        Soit  n  un entier naturel.      

        On note a_n la probabilité que le lièvre soit en A après le n ième déplacement,

        b_n  la probabilité que le lièvre soit en B après le n ième  déplacement ,

       et c_n la probabilité que le lièvre soit en C après le n ième déplacement.

        a₀, b₀ et c₀ sont des réels de l'intervalle [ 0 ; 1 ]  tels que a₀ + b₀+ c₀ = 1.      

       Pour tout entier naturel n, on note P_n = ( a_n   b_n    c_n )  la matrice ligne traduisant

       l’état probabiliste après le n ième déplacement.

       1. Traduire la situation à l’aide d’un graphe probabiliste.

      2. Donner la matrice de transition M du graphe.

             On a :

     3. a. Exprimer P_n en fonction de M, n et P₀    , pour tout n ∈ N.

             On a :               P_n = P₀ x Mⁿ     pour tout n ∈ N. 

          b. Trouver  la matrice  M⁴.

       c. Déterminer,  en fonction de a₀, b₀ et c₀, la probabilité que le lièvre soit en A

              après la quatrième déplacement.

                      On cherche a₄ .

                     On a :   P₄ = P₀ x M⁴

                 c-à-d :    ( a₄   b₄    c₄   ) = ( a₀   b₀   c₀   ) x M⁴    

                Ainsi :

     4. Le but de cette question est de trouver la limite des coefficients de Mⁿ

           lorsque n tend vers + ∞.

            a. Etablir que:

                     M = ( 1 / 2 ) ( N − I )          où  I est la matrice identité d’ordre 3   et

              b. Vérifier que:      N² = 3 N.

              On a :

            c. Démontrer par récurrence que, pour tout entier n naturel non nul,

                  Mⁿ =  ( 1/3  )  [  N +  ( − 1/2 )ⁿ   ( 3 I − N ) ]

                     • n = 1

                    On a :  Mⁿ = M¹ = M  

                   De plus :

                    On a :   ( 1/3) [ N + ( − 1 / 2 )ⁿ  ( 3 I − N ) ] =  ( 1/3) [ N − 1 / 2 ( 3 I − N ) ]

                    c-à-d       ( 1/3) [ N + ( − 1 / 2 )ⁿ  ( 3 I − N ) ] =  ( 1/3) [ N − ( 3/ 2) I + ( 1 / 2) N ) ]

                    c-à-d     ( 1/3) [ N +( − 1 / 2 )ⁿ  ( 3 I − N ) ] =  ( 1/3) [ ( 3 / 2 ) N − ( 3 / 2) I  ] = ( 1 / 2 ) N − ( 1/ 2) I  

                    c-à-d       ( 1/3) [ N +( − 1 / 2 )ⁿ  ( 3 I − N ) ] = ( 1 / 2 ) ( N − I )

                    Comme   M = ( 1 / 2 ) ( N − I )   l'égalité est vraie pour n = 1

                    •Soit n dans IN* quelconque.

                       Montrons que si l'égalité est vraie pour  n alors elle est vraie pour n + 1.

                     Considérons:

                                   Mⁿ = ( 1/3) [ N +( − 1 / 2 )ⁿ  ( 3 I − N ) ]

                     Alors :

                               Mⁿ x M = ( 1/3) [ N +( − 1 / 2 )ⁿ  ( 3 I − N ) ] x M

                     Mais:            M = ( 1/2) ( N −  I)

                      Donc :    M^{n + 1}  =  ( 1/3) [ N +( − 1 / 2 )ⁿ  ( 3 I − N ) ] x ( 1/2) ( N −  I)

                    c-à-d     M^{n + 1}  =  ( 1/6) [ N ( N − I ) +( − 1 / 2 )ⁿ  ( 3 I − N )( N − I ) ]  

                    c-à-d      M^{n + 1}  =  ( 1/6) [  N² − N +( − 1 / 2 )ⁿ  (  3N  − 3 I − N²  + N ) ]

                    c-à-d     M^{n + 1}  =  ( 1/6) [  3 N − N +( − 1 / 2 )ⁿ  (  3 N   − 3 I − 3 N + N ) ]   sachant  que N² = 3 N 

                   c-à-d      M^{n + 1}  =  ( 1/6) [  2 N  +( − 1 / 2 )ⁿ  (  N  − 3 I  ) ]        sachant que     1 / 6 = ( 1 / 3 ) ( 1 / 2 )

                  c-à-d      M^{n + 1}  =  ( 1/3) [   N  + ( − 1 / 2 )ⁿ  ( 1 / 2) (  N  − 3 I  ) ]

                    c-à-d      M^{n + 1}  =  ( 1/3) [   N  + ( − 1 / 2 )ⁿ  ( − 1 / 2) ( 3 I  − N  ) ]

                  c-à-d      M^{n + 1}  =  ( 1/3) [   N  + ( − 1 / 2 )^{n + 1}   ( 3 I  − N  ) ]

               Conclusion :  L'égalité est prouvée sur IN*

         d. En déduire la limite des coefficients de la matrice Mⁿ

               lorsque n tend vers + ∞.

              On a :  lim ( − 1 / 2 )ⁿ   = 0             car   − 1 < − 1 / 2 < 1

                          n →  + ∞

           Ainsi :     lim [  ( 1/3) [   N  + ( − 1 / 2 )ⁿ   ( 3 I  − N  ) ]  = ( 1 / 3 ) N

                         n →  + ∞

              c-à-d      lim  Mⁿ  = ( 1 / 3 ) N

                             n →  + ∞

             Conclusion:

                Comme N ne contient que des 1 , la limite des coefficients

                de la matrice Mⁿ   quand n tend vers   + ∞ est  1 / 3  .

       5.a.  Indiquer ce que devient  P_n lorsque n tend vers  + ∞.  

                   ( On rappelle que  a₀ + b₀ + c₀ = 1 )

              On a :  P_n =  P₀ x Mⁿ    pour tout entier naturel n 

               Ainsi :             lim  P_n = lim ( P₀ x Mⁿ ) = P₀ x ( 1 / 3 ) N  = ( 1 / 3 )  P₀ x  N

                                      n →  + ∞        n →  + ∞

              On a :          ( 1 / 3 )  P₀ x  N  = ( 1 / 3 ) (  a₀ + b₀ + c₀      a₀ + b₀ + c₀        a₀ + b₀ + c₀   )

               Or              a₀ + b₀ + c₀ = 1

            Donc :        ( 1 / 3 )  P₀ x  N  =  (  1/3        1/3         1/ 3  )

              Ainsi :      

                Conclusion:       lim  P_n =   (  1/3        1/3         1/ 3  )

                                            n →  + ∞  

            b. Cette limite correspond-t-elle à un état stationnaire pour M ?

                OUI.              

         ( On cherchera, pour cela, l'état stationnaire s'il existe, puis on comparera).

                C'est simplement pour confirmation.

             Soit   une matrice  P = ( a    b    c )   avec a , b , c dans  [ 0,1]   

             Imposons:

                        P = P x M   

                        et   a + b + c = 1

             c-à-d

                     ( a    b    c ) = ( a    b    c )x M

                   et   a + b + c = 1

            c-à-d

         c-à-d      en supprimant la troisième égalité:

            b + c = 2 a

           a + c = 2 b

           a + b + c = 1

       Par différence les deux premières donnent :

           a − b = 2 ( b − a )   c-à-d   3 ( a − b ) = 0        c-à-d      a = b 

       En reportant dans la seconde il vient:

                      a + c = 2 a                     c-à-d                   c = a 

        La dernière donne alors:    3 a  = 3 b = 3 c = 1

           On retrouve:             a = b = c = 1 / 3

          Conclusion:  L'état stable existe et est P = ( 1/3    1/3   1 / 3 )

      6. Interpréter les résultats des questions précédentes pour la position du lièvre.

            Comme       lim P_n   = ( 1/3      1/3     1/3    )

                               n →  + ∞  

             on a :   lim a_n = 1/3                 lim b_n = 1/3              lim c_n = 1/3  

                            n →  + ∞                     n →  + ∞                     n →  + ∞

            Conclusion:

                A la longue le lièvre a autant de chance de se trouver en A ou B ou C.

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